Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων 🏁

Δύο παιδιά παίζουν το ίδιο ηλεκτρονικό παιχνίδι. Ο ήρωας του ενός έχει καλύψει τα $\frac{4}{7}$ της πίστας και του άλλου τα $\frac{5}{7}$ . Ποιος προηγείται; Με τους φυσικούς αριθμούς η απάντηση ήταν εύκολη. Με τα κλάσματα χρειάζεται λίγη προσοχή — αλλά υπάρχουν στρατηγικές που κάνουν τη δουλειά πολύ γρήγορη.

Ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα

Πρώτα δύο λέξεις που θα χρειαστούμε συνέχεια:

Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή: $\frac{4}{7}$ και $\frac{5}{7}$ .
Ετερώνυμα λέγονται αυτά που έχουν διαφορετικό παρονομαστή: $\frac{3}{7}$ και $\frac{5}{8}$ .

Τα ομώνυμα συγκρίνονται πανεύκολα. Για τα ετερώνυμα υπάρχουν κόλπα, και σε δύσκολες περιπτώσεις τα κάνουμε πρώτα ομώνυμα.

Στρατηγική 1: ίδιοι παρονομαστές

Στα κλάσματα με ίσους παρονομαστές, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μεγαλύτερο αριθμητή.

\frac{5}{7}>\frac{4}{7}

Γιατί; Και τα δύο μετράνε έβδομα, δηλαδή κομμάτια του ίδιου ακριβώς μεγέθους. Τα 5 κομμάτια είναι περισσότερα από τα 4. Είναι σαν να συγκρίνεις 5 μήλα με 4 μήλα.

Στρατηγική 2: ίδιοι αριθμητές

Στα κλάσματα με ίσους αριθμητές, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μικρότερο παρονομαστή.

\frac{9}{5}>\frac{9}{6}

Γιατί; Παίρνουμε τον ίδιο αριθμό κομματιών (9 και στα δύο), αλλά τα πέμπτα είναι μεγαλύτερα σε μέγεθος από τα έκτα. Όσο σε λιγότερα μέρη χωρίζεις κάτι, τόσο μεγαλύτερο είναι το κάθε μέρος.

Εδώ μπερδεύονται σχεδόν όλοι!

Στη στρατηγική αυτή ο κανόνας φαίνεται ανάποδος: το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή είναι το μεγαλύτερο. Έτσι $\frac{2}{17}>\frac{2}{19}$ , παρόλο που το 19 είναι μεγαλύτερο από το 17. Θυμήσου τη σοκολάτα: μοιρασμένη σε 17 άτομα δίνει μεγαλύτερα κομμάτια από ό,τι μοιρασμένη σε 19.

Στρατηγική 3: μεγαλύτερος αριθμητής και μικρότερος παρονομαστής

Αν ένα κλάσμα έχει και μεγαλύτερο αριθμητή και μικρότερο παρονομαστή από ένα άλλο, τότε είναι σίγουρα μεγαλύτερο.

\frac{18}{24}>\frac{16}{27}

Γιατί; Κερδίζουμε δύο φορές. Παίρνουμε και περισσότερα κομμάτια (18 αντί για 16), και μεγαλύτερα κομμάτια (τα εικοστά τέταρτα είναι μεγαλύτερα από τα εικοστά έβδομα). Δεν χρειάζεται καν να κάνουμε πράξεις.

Στρατηγική 4: κοινό σημείο αναφοράς

Μερικές φορές είναι πιο εύκολο να συγκρίνουμε και τα δύο κλάσματα με έναν τρίτο, γνωστό αριθμό — συνήθως το $\frac{1}{2}$ ή το 1.

Παράδειγμα με σημείο αναφοράς το 1

Να συγκρίνουμε τα $\frac{12}{13}$ και $\frac{8}{9}$ .

Και τα δύο είναι μικρότερα από 1. Το ερώτημα γίνεται: ποιο είναι πιο κοντά στο 1;

Στο $\frac{12}{13}$ λείπει ένα δέκατο τρίτο, δηλαδή $\frac{1}{13}$ .
Στο $\frac{8}{9}$ λείπει ένα ένατο, δηλαδή $\frac{1}{9}$ .

Το $\frac{1}{13}$ είναι μικρότερο από το $\frac{1}{9}$ , οπότε στο $\frac{12}{13}$ λείπει λιγότερο. Άρα:

\frac{12}{13}>\frac{8}{9}

Παράδειγμα με σημείο αναφοράς το $\frac{1}{2}$

Να συγκρίνουμε τα $\frac{3}{7}$ και $\frac{5}{8}$ .

Το $\frac{5}{8}$ σε σχέση με το μισό: Το $\frac{1}{2}$ γραμμένο σε όγδοα είναι $\frac{4}{8}$ . Επειδή $\frac{5}{8}>\frac{4}{8}$ , έχουμε $\frac{5}{8}>\frac{1}{2}$ .

Το $\frac{3}{7}$ σε σχέση με το μισό: Το μισό των 7 είναι 3,5. Επειδή $3<3,5$ , έχουμε $\frac{3}{7}<\frac{1}{2}$ .

Συμπέρασμα: Το ένα είναι πάνω από το μισό και το άλλο κάτω, άρα:

\frac{3}{7}<\frac{5}{8}

Ένα κόλπο για το μισό

Για να δεις αν ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το $\frac{1}{2}$ , διπλασίασε τον αριθμητή και σύγκρινέ τον με τον παρονομαστή. Στο $\frac{3}{7}$ : $3\times 2=6$ , και $6<7$ , άρα είναι μικρότερο από το μισό. Στο $\frac{5}{8}$ : $5\times 2=10$ , και $10>8$ , άρα είναι μεγαλύτερο από το μισό. Δουλεύει πάντα, σε μία μόνο κίνηση.

Στρατηγική 5: τα κάνω ομώνυμα

Όταν καμία από τις προηγούμενες στρατηγικές δεν ταιριάζει, υπάρχει ο τρόπος που δουλεύει πάντα: μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα, δηλαδή τους δίνουμε κοινό παρονομαστή. Μετά συγκρίνουμε απλώς τους αριθμητές.

Λυμένο παράδειγμα: Να συγκρίνουμε τα $\frac{3}{7}$ και $\frac{5}{8}$ .

1ο βήμα. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών:

Ε.Κ.Π.(7,8)=56

2ο βήμα. Φτιάχνουμε ισοδύναμα κλάσματα με παρονομαστή 56:

\frac{3}{7}=\frac{3\times 8}{7\times 8}=\frac{24}{56}

\frac{5}{8}=\frac{5\times 7}{8\times 7}=\frac{35}{56}

3ο βήμα. Τώρα είναι ομώνυμα, οπότε συγκρίνουμε τους αριθμητές: $24<35$ .

Απάντηση:

\frac{3}{7}<\frac{5}{8}

Ίδιο αποτέλεσμα με το κοινό σημείο αναφοράς — και αυτό είναι φυσιολογικό, αφού η απάντηση είναι μία.

Διάταξη: βάζω πολλά κλάσματα στη σειρά

Διάταξη λέμε το να βάλουμε πολλά κλάσματα στη σειρά, από το μικρότερο στο μεγαλύτερο ή αντίστροφα.

Παράδειγμα με ομώνυμα

Να διατάξουμε τα $\frac{3}{9}$ , $\frac{8}{9}$ , $\frac{5}{9}$ από το μικρότερο στο μεγαλύτερο.

Έχουν όλα τον ίδιο παρονομαστή, άρα συγκρίνουμε μόνο τους αριθμητές: $3<5<8$ .

\frac{3}{9}<\frac{5}{9}<\frac{8}{9}

Παράδειγμα με ίδιους αριθμητές

Να διατάξουμε τα $\frac{4}{7}$ , $\frac{4}{5}$ , $\frac{4}{10}$ .

Έχουν όλα αριθμητή 4, άρα μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή:

\frac{4}{10}<\frac{4}{7}<\frac{4}{5}

Παράδειγμα με ετερώνυμα

Να διατάξουμε τα $\frac{1}{3}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{10}{12}$ .

1ο βήμα. Τα κάνουμε ομώνυμα. Το Ε.Κ.Π. των 3, 4 και 12 είναι το 12.

2ο βήμα. Μετατρέπουμε:

\frac{1}{3}=\frac{4}{12},\qquad \frac{3}{4}=\frac{9}{12},\qquad \frac{10}{12}=\frac{10}{12}

3ο βήμα. Συγκρίνουμε αριθμητές: $4<9<10$ .