Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης ➗
Η γιαγιά θέλει να μοιράσει σοκολάτες στα 4 εγγόνια της, εξίσου. Αν οι σοκολάτες είναι 8, εύκολα: , δύο σοκολάτες ο καθένας. Αν όμως οι σοκολάτες είναι 3; Η διαίρεση δεν βγαίνει σε φυσικό αριθμό. Μήπως σημαίνει ότι δεν μπορούμε να μοιράσουμε; Φυσικά και μπορούμε — απλώς η απάντηση δεν είναι φυσικός αριθμός, είναι κλάσμα.
Ο βασικός κανόνας
Κάθε κλάσμα εκφράζει το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά του παρονομαστή.
Δηλαδή η γραμμή του κλάσματος είναι σημάδι διαίρεσης. Ένα κλάσμα δεν είναι μόνο «κομμάτι από κάτι» — είναι και «το αποτέλεσμα ενός μοιράσματος».
| Κλάσμα | Ίδιο με |
|---|---|
Στους φυσικούς αριθμούς πολλές διαιρέσεις «δεν βγαίνουν»: το δεν έχει απάντηση σε φυσικούς. Με τα κλάσματα, κάθε διαίρεση έχει απάντηση: είναι απλώς το . Γι' αυτό τα κλάσματα ήταν τόσο σημαντική ανακάλυψη — έλυσαν ένα πρόβλημα που οι φυσικοί αριθμοί δεν μπορούσαν να λύσουν.
Γιατί ισχύει: το μοίρασμα των σοκολατών
Ας δούμε γιατί , με πραγματικές σοκολάτες.
Έχουμε 3 σοκολάτες και 4 παιδιά.
1ο βήμα. Κόβουμε κάθε σοκολάτα σε 4 ίσα κομμάτια, όσα είναι τα παιδιά. Κάθε κομμάτι είναι το μιας σοκολάτας.
2ο βήμα. Μοιράζουμε. Από κάθε σοκολάτα, κάθε παιδί παίρνει ένα κομμάτι.
3ο βήμα. Επειδή έχουμε 3 σοκολάτες, το κάθε παιδί παίρνει 3 κομμάτια, το καθένα :
Άρα το κάθε παιδί πήρε τα της σοκολάτας. Και πράγματι .
Τι δείχνει ο κάθε όρος εδώ:
- Ο αριθμητής 3 δείχνει πόσα πράγματα μοιράζουμε (τις σοκολάτες).
- Ο παρονομαστής 4 δείχνει σε πόσους τα μοιράζουμε (τα παιδιά).
Κάθε φυσικός αριθμός είναι και κλάσμα
Αν η διαίρεση δίνει κλάσμα, τότε και κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Απλώς τον διαιρούμε με το 1:
Και όχι μόνο έτσι — υπάρχουν άπειροι τρόποι:
Κάθε φορά ισχύει, γιατί , και ούτω καθεξής.
Το δεν υπάρχει. Σκέψου το ως μοίρασμα: πώς μοιράζεις 5 σοκολάτες σε 0 παιδιά; Η ερώτηση δεν έχει νόημα. Ή σκέψου το ως κόψιμο: πώς χωρίζεις μια πίτσα σε 0 ίσα κομμάτια; Δεν γίνεται. Ο παρονομαστής μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν.
Στρατηγική 1: από κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό
Αφού το κλάσμα είναι διαίρεση, μπορούμε να κάνουμε τη διαίρεση και να πάρουμε δεκαδικό αριθμό.
Λυμένα παραδείγματα:
Παρατήρησε το τελευταίο: μερικές διαιρέσεις δεν τελειώνουν ποτέ. Το συνεχίζει με εφτάρια για πάντα. Σε τέτοιες περιπτώσεις το κλάσμα είναι στην πραγματικότητα πιο ακριβής γραφή από τον δεκαδικό.
Στρατηγική 2: από κλάσμα σε μεικτό αριθμό, με διαίρεση
Επειδή το κλάσμα είναι διαίρεση, η διαίρεση μάς δίνει κατευθείαν τον μεικτό αριθμό.
Λυμένο παράδειγμα: Να μετατρέψουμε το σε μεικτό αριθμό.
1ο βήμα. Διαιρούμε αριθμητή με παρονομαστή, γιατί .
2ο βήμα. και υπόλοιπο 1, αφού και μένει 1.
3ο βήμα. Διαβάζουμε το αποτέλεσμα:
- Ο ακέραιος του μεικτού είναι το πηλίκο (5). Δείχνει πόσες επτάδες χωράνε στο 36.
- Ο αριθμητής του κλάσματος είναι το υπόλοιπο (1).
- Ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης (7).
| Κλάσμα | Διαίρεση | Μεικτός |
|---|---|---|
| , υπόλοιπο 3 | ||
| , υπόλοιπο 1 | ||
| , υπόλοιπο 0 | 3 |
Λυμένο πρόβλημα: τα μήλα
Ο Νίκος και οι 4 φίλοι του μοιράστηκαν εξίσου 6 μήλα. Τι μέρος από τα μήλα πήρε το κάθε παιδί;
Πρώτα προσέχουμε: ο Νίκος και οι 4 φίλοι του είναι 5 παιδιά συνολικά. Θέλουμε να μοιράσουμε 6 μήλα σε 5 παιδιά.
α΄ τρόπος — με κόψιμο και μέτρημα
Χωρίζουμε κάθε μήλο σε 5 ίσα μέρη, όσα είναι τα παιδιά. Κάθε κομμάτι είναι το του μήλου.
Το κάθε παιδί παίρνει 6 τέτοια κομμάτια, όσα είναι τα μήλα:
β΄ τρόπος — με διαίρεση
Απευθείας από τον κανόνα:
Απάντηση: Κάθε παιδί πήρε τα του μήλου, δηλαδή μήλα — ένα ολόκληρο μήλο και ένα πέμπτο ακόμα.
Και οι δύο τρόποι δίνουν το ίδιο, γιατί ακριβώς αυτό λέει ο κανόνας: το μοίρασμα και το κλάσμα είναι το ίδιο πράγμα.