2ο επαναληπτικό: όλη η Ενότητα 2 μαζί 🔁

Σε αυτή την ενότητα έμαθες τις τέσσερις πράξεις με φυσικούς αριθμούς και δύο νέες έννοιες που τις συνδέουν: τα πολλαπλάσια με τους διαιρέτες και τα κριτήρια διαιρετότητας. Εδώ τα βάζουμε όλα δίπλα-δίπλα, με έμφαση στα σημεία που μπερδεύουν πιο συχνά.

Οι τέσσερις πράξεις σε έναν πίνακα 🧮

Πράξη	Οι όροι της	Το αποτέλεσμα
Πρόσθεση	προσθετέοι	άθροισμα
Αφαίρεση	μειωτέος, αφαιρετέος	διαφορά
Πολλαπλασιασμός	παράγοντες	γινόμενο
Διαίρεση	Διαιρετέος, διαιρέτης	πηλίκο και υπόλοιπο

Οι πράξεις πάνε ζευγάρια. Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίστροφες μεταξύ τους, όπως και ο πολλαπλασιασμός με τη διαίρεση. Αυτό μας δίνει δωρεάν τον τρόπο να επαληθεύουμε κάθε πράξη μας.

Έκανα	Επαληθεύω με
$59.183 - 41.785 = 17.398$	$17.398 + 41.785 = 59.183$
$41.785 + 59.183 = 100.968$	$100.968 - 59.183 = 41.785$
$4 \times 25 = 100$	$100 : 25 = 4$
$249 : 20 = 12$ υπόλοιπο 9	$20 \times 12 + 9 = 249$

Πρόσθεση και αφαίρεση: τι πρέπει να θυμάσαι ➕

Στην κάθετη πράξη γράφουμε Μονάδες κάτω από Μονάδες, Δεκάδες κάτω από Δεκάδες, γιατί προσθέτουμε ίδιες αξίες με ίδιες αξίες. Όταν στην πρόσθεση μαζευτούν 10 μονάδες μιας αξίας, τις αναομαδοποιούμε σε 1 της αμέσως μεγαλύτερης (το κρατούμενο). Όταν στην αφαίρεση το ψηφίο δεν φτάνει, δανειζόμαστε μία μονάδα από αριστερά και τη σπάμε σε δέκα.

Παράδειγμα. $41.785 + 59.183 = 100.968$ και $59.183 - 41.785 = 17.398$ .

Η πρόσθεση έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα ( $a + b = b + a$ ) και την προσεταιριστική (ενώνουμε πρώτα το βολικό ζευγάρι). Η αφαίρεση δεν έχει καμία από τις δύο.

Η σειρά δεν αλλάζει στην αφαίρεση

Το $12.382 - 12.258$ δεν είναι το ίδιο με το $12.258 - 12.382$ . Στην πρόσθεση αλλάζεις τη σειρά όσο θέλεις· στην αφαίρεση ποτέ. Το ίδιο ισχύει και για τη διαίρεση: το $20 : 5$ δεν είναι το $5 : 20$ .

Πολλαπλασιασμός: οι ιδιότητες που γλιτώνουν δουλειά ✖️

Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς, τους παράγοντες, βρίσκουμε το γινόμενο. Είναι μια γρήγορη πρόσθεση ίσων ομάδων.

Τρεις ιδιότητες κάνουν τη διαφορά:

Αντιμεταθετική: $3 \times 8 = 8 \times 3$
Προσεταιριστική: ενώνω πρώτα το βολικό ζευγάρι
Επιμεριστική: σπάω έναν παράγοντα σε κομμάτια

Λυμένο παράδειγμα 1. Να υπολογίσουμε το $4 \times 25 \times 36.984$ .

Αντί να πολλαπλασιάσουμε με τη σειρά, ενώνουμε πρώτα το 4 με το 25:

4 \times 25 = 100 \quad \Rightarrow \quad 100 \times 36.984 = 3.698.400

Λυμένο παράδειγμα 2. Να υπολογίσουμε το $8 \times 459.895 \times 125$ .

Το 8 με το 125 δίνουν 1.000:

8 \times 125 = 1.000 \quad \Rightarrow \quad 1.000 \times 459.895 = 459.895.000

Τα ζευγάρια που πρέπει να αναγνωρίζεις

Μερικά ζευγάρια δίνουν στρογγυλούς αριθμούς και αξίζει να τα ξέρεις απέξω: $2 \times 5 = 10$ , $4 \times 25 = 100$ , $8 \times 125 = 1.000$ , $2 \times 50 = 100$ , $20 \times 5 = 100$ . Όταν τα δεις μέσα σε μια αλυσίδα πολλαπλασιασμών, ένωσέ τα πρώτα και η πράξη λύνεται στο μυαλό.

Πολλαπλάσια και διαιρέτες: η μεγάλη διάκριση 🔢

Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι όσα βγαίνουν αν τον πολλαπλασιάσουμε με όλους τους φυσικούς αριθμούς. Διαιρέτες είναι όσοι αριθμοί τον διαιρούν ακριβώς.

	Πολλαπλάσια του 12	Διαιρέτες του 12
Ποια είναι	0, 12, 24, 36, 48, 60, …	1, 2, 3, 4, 6, 12
Πόσα	άπειρα	μετρημένα
Μέγεθος	μεγαλύτερα ή ίσα του 12	μικρότερα ή ίσα του 12

Παράδειγμα. Τα πολλαπλάσια του 12 ως το 120 είναι: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120. Του 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120.

Παράδειγμα. Οι διαιρέτες του 24 είναι 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Του 60 είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Οι δύο έννοιες είναι οι δύο όψεις της ίδιας σχέσης: επειδή $60 : 12 = 5$ ακριβώς, το 12 είναι διαιρέτης του 60 και το 60 πολλαπλάσιο του 12.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών, διαφορετικών από το 0, είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιό τους εκτός από το 0. Από τις παραπάνω λίστες βλέπουμε ότι Ε.Κ.Π.(12, 15) = 60.

Πολλαπλάσια ή διαιρέτες; Ελέγξτε το μέγεθος

Το λάθος που επαναλαμβάνεται πιο συχνά σε όλη την ενότητα: να ζητούνται τα πολλαπλάσια του 8 και να απαντάει κανείς 1, 2, 4, 8, που είναι οι διαιρέτες. Πριν γράψεις, ρώτα: η απάντησή μου μεγαλώνει ή μικραίνει; Τα πολλαπλάσια μεγαλώνουν, οι διαιρέτες χωράνε μέσα στον αριθμό.

Τα κριτήρια διαιρετότητας μαζεμένα 🔍

Διαιρείται με	Ο κανόνας
2	τελευταίο ψηφίο 0, 2, 4, 6 ή 8
3	άθροισμα ψηφίων διαιρείται με 3
4	τα 2 τελευταία ψηφία διαιρούνται με 4
5	τελευταίο ψηφίο 0 ή 5
9	άθροισμα ψηφίων διαιρείται με 9
10	τελευταίο ψηφίο 0
25	τα 2 τελευταία ψηφία: 00, 25, 50 ή 75

Λυμένο παράδειγμα. Να συμπληρώσουμε τα ψηφία στο 67⬜⬜, ώστε να διαιρείται με το 3 και με το 5.

Ξεκινάμε από το κριτήριο με τις λιγότερες επιλογές, δηλαδή του 5: το τελευταίο ψηφίο είναι 0 ή 5.

Αν είναι 0: $6 + 7 + ⬜ + 0 = 13 + ⬜$ . Για πολλαπλάσιο του 3 το κενό μπορεί να είναι 2, 5 ή 8. Αριθμοί: 6.720, 6.750, 6.780.
Αν είναι 5: $6 + 7 + ⬜ + 5 = 18 + ⬜$ . Το κενό μπορεί να είναι 0, 3, 6 ή 9. Αριθμοί: 6.705, 6.735, 6.765, 6.795.

Θυμήσου: κάθε αριθμός που διαιρείται με το 9 διαιρείται σίγουρα και με το 3, αλλά όχι το αντίστροφο.

Η διαίρεση και η Ευκλείδεια σχέση ➗

Για κάθε δύο φυσικούς αριθμούς Δ και δ υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί π και υ, ώστε:

Δ = δ \times π + υ, \qquad 0 \leq υ < δ

Αυτή είναι η Ευκλείδεια διαίρεση. Αν $υ = 0$ , η διαίρεση λέγεται τέλεια και γράφεται $Δ = δ \times π$ . Αν $υ \neq 0$ , λέγεται ατελής.

Λυμένο παράδειγμα. Να συμπληρώσουμε τους αριθμούς που λείπουν: $45.600 = ⬜ \times ⬜ + ⬜$ .

Ας διαλέξουμε διαιρέτη το 700:

45.600 : 700 = 65 \text{ με υπόλοιπο } 100

Έλεγχος: $700 \times 65 = 45.500$ και $45.500 + 100 = 45.600$ . Επίσης $100 < 700$ .

45.600 = 700 \times 65 + 100

Η διαίρεση αυτή είναι ατελής.

Ο έλεγχος που ξεχνιέται πάντα

Πριν γράψεις το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης, κάνε δύο ελέγχους: πρώτον, $δ \times π + υ$ πρέπει να δίνει τον διαιρετέο· δεύτερον, το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρέτη. Ένα υπόλοιπο 7 σε διαίρεση με το 5 είναι σίγουρο λάθος, όσο σωστά κι αν φαίνονται τα υπόλοιπα βήματα.

Λυμένα προβλήματα όλης της ενότητας 🎯

Πρόβλημα 1: πρόσθεση και διαίρεση μαζί

Ένα εργαστήριο ζαχαροπλαστικής έφτιαξε τη μια ημέρα 684 σοκολατάκια και την άλλη 536. Θέλει να τα συσκευάσει σε κουτιά που καθένα χωράει 20. Πόσα κουτιά θα χρειαστεί;

Βήμα 1. Σύνολο: $684 + 536 = 1.220$ .
Βήμα 2. Διαίρεση: $1.220 : 20 = 61$ , υπόλοιπο 0. Τέλεια διαίρεση.

Απάντηση: 61 κουτιά.

Πρόβλημα 2: σκέψη προς τα πίσω

Η Δανάη έχει 457 γραμματόσημα. Αν ο Νίκος τής δώσει 39 από τα δικά του, θα έχουν τον ίδιο αριθμό. Πόσα έχει ο Νίκος;

Βήμα 1. Μετά τη δωρεά η Δανάη θα έχει $457 + 39 = 496$ .
Βήμα 2. Άρα και ο Νίκος θα έχει 496 — αλλά αφού έδωσε τα 39.
Βήμα 3. Πριν τα δώσει είχε $496 + 39 = 535$ .

Απάντηση: Ο Νίκος έχει 535 γραμματόσημα.

Πρόβλημα 3: αφαίρεση και πολλαπλασιασμός

Σε μια θεατρική παράσταση το εισιτήριο κοστίζει 18 € για τους ενήλικες και 2 € λιγότερα για τα παιδιά. Πόσα € θα πληρώσει μια οικογένεια με τρία παιδιά;

Βήμα 1. Παιδικό εισιτήριο: $18 - 2 = 16$ €.
Βήμα 2. Η οικογένεια έχει 2 ενήλικες και 3 παιδιά: $2 \times 18 = 36$ € και $3 \times 16 = 48$ €.
Βήμα 3. Σύνολο: $36 + 48 = 84$ €.

Απάντηση: Θα πληρώσει 84 €.

Πρόβλημα 4: Ε.Κ.Π. στην πράξη

Ο παππούς του Νίκου ποτίζει την τριανταφυλλιά κάθε 2 ημέρες, τη γαριφαλιά κάθε 3 και τον κάκτο κάθε 5. Σήμερα τις πότισε και τις τρεις. Πόσες ημέρες μετά θα ποτίσει ξανά και τις τρεις;

Ψάχνουμε το Ε.Κ.Π.(2, 3, 5). Τα κοινά πολλαπλάσια είναι 30, 60, 90… Το μικρότερο είναι το 30.

Απάντηση: Σε 30 ημέρες.

Πώς αναγνωρίζεις πρόβλημα Ε.Κ.Π.

Δεν χρειάζεται να το μαντέψεις. Αν το πρόβλημα λέει «κάθε τόσες ημέρες», «κάθε τόσα λεπτά», «ανά τόσους» και μετά ρωτάει πότε θα ξανασυμβούν όλα μαζί, τότε η απάντηση βγαίνει από το Ε.Κ.Π. Αν αντίθετα ρωτάει σε πόσες ίσες ομάδες μοιράζεται κάτι, ψάχνεις διαιρέτες.

Τα πέντε πράγματα που μπερδεύουν πιο συχνά ⚠️

Το μπέρδεμα	Πώς το ξεκαθαρίζω
Πολλαπλάσια ή διαιρέτες;	Τα πολλαπλάσια μεγαλώνουν και είναι άπειρα· οι διαιρέτες μικραίνουν και είναι μετρημένοι
Το κριτήριο του 3	Δεν κοιτάζω τελευταίο ψηφίο — αθροίζω όλα τα ψηφία
Το υπόλοιπο	Πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη, αλλιώς η πράξη είναι λάθος
Σειρά στην αφαίρεση και τη διαίρεση	Δεν αλλάζει ποτέ· μόνο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός το επιτρέπουν
Προβλήματα δύο βημάτων	Το αποτέλεσμα της πρώτης πράξης σπάνια είναι η τελική απάντηση