Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ➗

Ένας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές με 8 θέσεις η καθεμιά, δηλαδή $21 \times 8 = 168$ θέσεις. Αν έρθουν 152 αυτοκίνητα, σε πόσες σειρές θα σταθμεύσουν; Και αν έρθουν 156; Οι δύο απαντήσεις δεν είναι το ίδιο πράγμα — και αυτή η μικρή διαφορά είναι όλο το κεφάλαιο.

Τι είναι η διαίρεση 🍕

Διαίρεση είναι η πράξη με την οποία μοιράζουμε μια ποσότητα σε ίσα μέρη. Απαντάει σε δύο διαφορετικές ερωτήσεις:

• Μοιρασιά: έχω 24 καραμέλες και 6 παιδιά. Πόσες παίρνει το καθένα; $24 : 6 = 4$.
• Ομαδοποίηση: έχω 24 καραμέλες και βάζω 6 σε κάθε σακούλα. Πόσες σακούλες γεμίζω; $24 : 6 = 4$.

Η ίδια πράξη, δύο διαφορετικές ιστορίες. Γι' αυτό από κάθε πρόβλημα πολλαπλασιασμού μπορούμε να φτιάξουμε δύο προβλήματα διαίρεσης.

Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού: αφού $21 \times 8 = 168$, τότε $168 : 8 = 21$ και $168 : 21 = 8$.

Τα μέρη της διαίρεσης 🔤

Κάθε διαίρεση έχει τέσσερα μέρη, το καθένα με το όνομά του.

Στη διαίρεση $156 : 8$, ο Δ είναι το 156, ο δ είναι το 8, το π βγαίνει 19 και το υ βγαίνει 4.

Η Ευκλείδεια διαίρεση 📜

Εδώ είναι ο πιο σημαντικός κανόνας του κεφαλαίου.

Όταν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ και δ, τότε μπορούμε να βρούμε δύο άλλους μοναδικούς φυσικούς αριθμούς π και υ, έτσι ώστε να ισχύει:

Ο αριθμός Δ ονομάζεται Διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.

Η διαίρεση αυτής της μορφής λέγεται Ευκλείδεια Διαίρεση.

Και ένας κανόνας που δεν παραβιάζεται ποτέ:

Δηλαδή το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη και μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός.

Παράδειγμα. Στη διαίρεση $156 : 8 = 19$ με υπόλοιπο 4, ελέγχουμε:

Και πράγματι $4 < 8$.

Τέλεια και ατελής διαίρεση ✅

Ανάλογα με το υπόλοιπο, ξεχωρίζουμε δύο είδη διαίρεσης.

Τέλεια διαίρεση είναι εκείνη που έχει υπόλοιπο μηδέν. Τότε η σχέση γίνεται πιο απλή:

Ατελής διαίρεση είναι εκείνη που έχει υπόλοιπο διαφορετικό από το μηδέν.

Πίσω στον χώρο στάθμευσης: τα 152 αυτοκίνητα γεμίζουν ακριβώς 19 σειρές, γιατί $152 = 8 \times 19$ — τέλεια διαίρεση. Τα 156 γεμίζουν 19 σειρές και μένουν 4 αυτοκίνητα που πιάνουν και μια εικοστή σειρά, μισογεμάτη — ατελής διαίρεση.

Πώς επαληθεύω μια διαίρεση 🔁

Η σχέση $Δ = δ \times π + υ$ δεν είναι μόνο ορισμός. Είναι και το εργαλείο με το οποίο ελέγχουμε αν κάναμε σωστά την πράξη.

Παράδειγμα. Να επαληθεύσουμε τη διαίρεση $249 : 20$.

Κάνοντας τη διαίρεση βρίσκουμε πηλίκο 12 και υπόλοιπο 9. Ελέγχουμε:

Βγήκε ο διαιρετέος, άρα η διαίρεση είναι σωστή. Ελέγχουμε και τον δεύτερο κανόνα: $9 < 20$. Εντάξει.

Τα δύο βήματα της επαλήθευσης:

1. Πολλαπλασιάζω τον διαιρέτη με το πηλίκο και προσθέτω το υπόλοιπο. Πρέπει να βγει ο διαιρετέος.
2. Ελέγχω ότι το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.

Βρίσκω έναν άγνωστο όρο

Η ίδια σχέση μας δίνει και όποιον όρο λείπει.

Παράδειγμα. Μια διαίρεση έχει διαιρέτη 48, πηλίκο 7 και υπόλοιπο 25. Ποιος είναι ο διαιρετέος;

Απάντηση: Ο διαιρετέος είναι 361. (Και πράγματι $25 < 48$.)

Ειδικές περιπτώσεις που πρέπει να ξέρεις ⭐

Γιατί δεν γίνεται η διαίρεση με το 0; Επειδή θα σήμαινε «μοίρασε 7 καραμέλες σε 0 παιδιά». Δεν υπάρχει αριθμός που πολλαπλασιασμένος με το 0 να δίνει 7, αφού το 0 επί οτιδήποτε κάνει 0.

Διαίρεση με 10, 100 και 1.000 🔟

Όταν ο διαιρέτης είναι 10, 100 ή 1.000 και ο διαιρετέος τελειώνει σε αρκετά μηδενικά, σβήνουμε τόσα μηδενικά όσα έχει ο διαιρέτης.

Το ίδιο κόλπο δουλεύει και όταν ο διαιρέτης είναι 20, 200, 2.000: σβήνουμε τα μηδενικά και διαιρούμε με ό,τι μένει.

Υπολογίζω το πηλίκο με ανάλυση 🧮

Όταν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, σπάμε τον διαιρετέο σε βολικά κομμάτια που είναι πολλαπλάσια του διαιρέτη.

Παράδειγμα. Να υπολογίσουμε το πηλίκο της διαίρεσης $1.245 : 40$.

Βήμα 1. Ψάχνω βολικά πολλαπλάσια του 40 που να χωράνε στο 1.245:

• $40 \times 20 = 800$
• $40 \times 10 = 400$
• $40 \times 1 = 40$

Βήμα 2. Τα ενώνω: $800 + 400 + 40 = 1.240$, δηλαδή $40 \times (20 + 10 + 1) = 40 \times 31$.

Βήμα 3. Βλέπω τι περισσεύει: $1.245 - 1.240 = 5$.

Απάντηση: Το πηλίκο είναι 31, το υπόλοιπο 5 και η διαίρεση είναι ατελής. Έλεγχος: $5 < 40$. Σωστά.

Πώς διαβάζω το υπόλοιπο σε ένα πρόβλημα 🎯

Το υπόλοιπο δεν είναι ποτέ «σκουπίδι». Είναι μέρος της απάντησης, και ανάλογα με το πρόβλημα το χειριζόμαστε διαφορετικά.

Πρόβλημα. Ένα εργαστήριο ζαχαροπλαστικής έφτιαξε 684 σοκολατάκια τη μία ημέρα και 536 την άλλη. Θέλει να τα συσκευάσει σε κουτιά που το καθένα χωράει 20. Πόσα κουτιά θα χρειαστεί;

Βήμα 1. Σύνολο σοκολατάκια: $684 + 536 = 1.220$.

Βήμα 2. Διαίρεση: $1.220 : 20 = 61$, με υπόλοιπο 0.

Απάντηση: Θα χρειαστεί 61 κουτιά.

Αν όμως τα σοκολατάκια ήταν 1.230, θα είχαμε πηλίκο 61 και υπόλοιπο 10. Τότε τα 61 κουτιά δεν θα έφταναν: τα 10 σοκολατάκια που περισσεύουν θέλουν κι αυτά κουτί, οπότε η απάντηση θα ήταν 62 κουτιά.