Κριτήρια διαιρετότητας 🔍

Ένας ανθοπώλης έχει 4.32⬜ κυκλάμινα και θέλει να φτιάξει ανθοδέσμες με ίσο αριθμό λουλουδιών, χωρίς να περισσέψει κανένα. Ποιο ψηφίο λείπει, ώστε κάθε ανθοδέσμη να έχει 5 κυκλάμινα; Θα μπορούσες να δοκιμάσεις δέκα διαιρέσεις. Ή να ρίξεις μια ματιά στο τελευταίο ψηφίο και να απαντήσεις σε δύο δευτερόλεπτα. Αυτή τη ματιά μας τη δίνουν τα κριτήρια διαιρετότητας.

Τι είναι τα κριτήρια διαιρετότητας 📏

Για να διαπιστώσουμε αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με έναν άλλο, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, χρησιμοποιούμε ορισμένους κανόνες που τους ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας.

Το κριτήριο διαιρετότητας του 2, για παράδειγμα, είναι ο κανόνας που μας πληροφορεί πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2.

Όταν λέμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο, εννοούμε ότι η διαίρεση είναι τέλεια, δηλαδή δεν αφήνει υπόλοιπο.

Τα κριτήρια που κοιτάζουν το τελευταίο ψηφίο 👀

Τρία κριτήρια λύνονται με μία ματιά στο τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται:

• με το 2, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8.
• με το 5, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.
• με το 10, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.

Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 λέγονται άρτιοι (ζυγοί). Όσοι δεν διαιρούνται λέγονται περιττοί (μονοί).

Τα κριτήρια που κοιτάζουν το άθροισμα των ψηφίων ➕

Δύο κριτήρια δουλεύουν διαφορετικά: αθροίζουμε όλα τα ψηφία του αριθμού.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται:

• με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
• με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Παράδειγμα 1. Διαιρείται το 26.163 με το 3;

Το 18 διαιρείται με το 3 ($18 : 3 = 6$), άρα ναι, το 26.163 διαιρείται με το 3.

Παράδειγμα 2. Διαιρείται το 85.356 με το 9;

Το 27 διαιρείται με το 9 ($27 : 9 = 3$), άρα ναι, το 85.356 διαιρείται με το 9.

Αν το άθροισμα βγει πάλι μεγάλο, το ξανα-αθροίζουμε. Για το 998.899: $9+9+8+8+9+9 = 52$, και $5+2 = 7$. Το 7 δεν διαιρείται ούτε με το 3 ούτε με το 9, άρα ούτε ο αριθμός.

Τα κριτήρια που κοιτάζουν τα δύο τελευταία ψηφία 🔎

Δύο ακόμη κριτήρια χρειάζονται τα δύο τελευταία ψηφία.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται:

• με το 4, όταν ο διψήφιος αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρείται με το 4 (ή όταν τα δύο τελευταία ψηφία είναι 00).
• με το 25, όταν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν 00, 25, 50 ή 75.

Παράδειγμα 1. Διαιρείται το 7.316 με το 4;

Κοιτάμε μόνο το 16. Αφού $16 : 4 = 4$, ναι, το 7.316 διαιρείται με το 4.

Παράδειγμα 2. Διαιρείται το 5.842 με το 4;

Κοιτάμε το 42. Το 42 δεν διαιρείται με το 4 ($42 : 4 = 10$ και περισσεύουν 2), άρα όχι.

Παράδειγμα 3. Διαιρείται το 13.475 με το 25;

Τα δύο τελευταία ψηφία είναι 75, που είναι στη λίστα, άρα ναι.

Όλα τα κριτήρια σε έναν πίνακα 📋

Λυμένο παράδειγμα: βρίσκω τα ψηφία που λείπουν 🧩

Να συμπληρώσουμε τα ψηφία που λείπουν στον αριθμό 3⬜5⬜, ώστε να διαιρείται και με το 2 και με το 9.

Βήμα 1. Ξεκινάμε από το κριτήριο που δίνει τις λιγότερες επιλογές. Για να διαιρείται με το 2, το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι 0, 2, 4, 6 ή 8. Πέντε περιπτώσεις.

Βήμα 2. Για κάθε περίπτωση εφαρμόζουμε το κριτήριο του 9: το άθροισμα των ψηφίων πρέπει να διαιρείται με το 9. Ξέρουμε ήδη ότι $3 + 5 = 8$.

Βήμα 3. Ελέγχουμε ένα: για το 3.654 έχουμε $3+6+5+4 = 18$, που διαιρείται με το 9, και τελειώνει σε 4, άρα διαιρείται και με το 2. Σωστό.

Απάντηση: Οι αριθμοί που προκύπτουν είναι 3.150, 3.258, 3.456, 3.654 και 3.852.

Και τα κριτήρια του 100, του 1.000 και παραπέρα 🔟

Το κριτήριο του 10 έχει μεγαλύτερα αδέρφια. Ένας αριθμός διαιρείται:

• με το 100, όταν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι 00
• με το 1.000, όταν τα τρία τελευταία ψηφία του είναι 000
• με το 10.000, όταν τα τέσσερα τελευταία ψηφία του είναι 0000

Ο κανόνας είναι πάντα ο ίδιος: τόσα μηδενικά στο τέλος όσα και στον διαιρέτη.

Πώς συνδυάζω δύο κριτήρια 🔗

Πολλές ασκήσεις ζητούν έναν αριθμό που διαιρείται ταυτόχρονα με δύο αριθμούς. Τότε πρέπει να ισχύουν και τα δύο κριτήρια μαζί.

Παράδειγμα. Να συμπληρώσουμε τα ψηφία στο 67⬜⬜, ώστε ο αριθμός να διαιρείται με το 3 και με το 5.

Για το 5, το τελευταίο ψηφίο είναι 0 ή 5.

• Αν είναι 0: $6 + 7 + ⬜ + 0 = 13 + ⬜$. Θέλουμε πολλαπλάσιο του 3, οπότε το κενό μπορεί να είναι 2 (σύνολο 15), 5 (σύνολο 18) ή 8 (σύνολο 21). Αριθμοί: 6.720, 6.750, 6.780.
• Αν είναι 5: $6 + 7 + ⬜ + 5 = 18 + ⬜$. Το κενό μπορεί να είναι 0 (σύνολο 18), 3 (σύνολο 21), 6 (σύνολο 24) ή 9 (σύνολο 27). Αριθμοί: 6.705, 6.735, 6.765, 6.795.

Χρήσιμο να θυμάσαι: ένας αριθμός που διαιρείται με το 9 διαιρείται σίγουρα και με το 3 (γιατί κάθε πολλαπλάσιο του 9 είναι και πολλαπλάσιο του 3). Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει: το 12 διαιρείται με το 3 αλλά όχι με το 9.

Γιατί μας χρειάζονται τα κριτήρια 💡

Τα κριτήρια διαιρετότητας δεν είναι κόλπα για τις ασκήσεις. Μας γλιτώνουν πραγματική δουλειά:

• Μοιράζουμε γρήγορα. Οι 459 καραμέλες μοιράζονται ακριβώς σε 3 ή σε 9 φίλους; $4+5+9 = 18$, που διαιρείται και με το 3 και με το 9. Ναι και στα δύο, χωρίς καμία διαίρεση.
• Βρίσκουμε διαιρέτες πιο εύκολα. Όταν ψάχνεις τους διαιρέτες ενός μεγάλου αριθμού, τα κριτήρια σου λένε αμέσως ποιους να δοκιμάσεις και ποιους να παρατήσεις.
• Απλοποιούμε κλάσματα. Για να μικρύνεις ένα κλάσμα, ψάχνεις έναν κοινό διαιρέτη αριθμητή και παρονομαστή — τα κριτήρια τον βρίσκουν σε δευτερόλεπτα.
• Ελέγχουμε αποτελέσματα. Αν το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης με το 5 δεν βγαίνει ακριβώς και ο αριθμός τελειώνει σε 0, κάτι πήγε στραβά στην πράξη.