Πολλαπλάσια και διαιρέτες 🔢

Πάρε τον πίνακα της προπαίδειας και χρωμάτισε με κόκκινο όλους τους αριθμούς που βγαίνουν από το 2. Θα πάρεις 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12… Αυτά είναι τα πολλαπλάσια του 2. Τώρα ρώτα το ανάποδο: ποιοι αριθμοί χωράνε ακριβώς μέσα στο 8; Το 1, το 2, το 4 και το 8. Αυτοί είναι οι διαιρέτες του 8. Δύο ερωτήσεις που κοιτάζουν τον ίδιο πολλαπλασιασμό από δύο διαφορετικές μεριές.

Τι είναι τα πολλαπλάσια ✖️

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού είναι όλοι οι αριθμοί που σχηματίζονται από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Για να βρω τα πολλαπλάσια του 3, πολλαπλασιάζω το 3 με 0, 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής:

Άρα τα πολλαπλάσια του 3 είναι: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …

Τα γράφουμε σύντομα ως Π(3).

Δύο πράγματα να προσέξεις:

• Τα πολλαπλάσια ενός αριθμού δεν τελειώνουν ποτέ. Πάντα μπορείς να πολλαπλασιάσεις με τον επόμενο αριθμό.
• Κάθε πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τον αριθμό αυτό (εκτός από το 0).

Τι είναι οι διαιρέτες ➗

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν ακριβώς, δηλαδή χωρίς να αφήνουν υπόλοιπο.

Οι διαιρέτες του 8 είναι το 1, το 2, το 4 και το 8, γιατί:

Τους γράφουμε σύντομα ως Δ(8) = 1, 2, 4, 8.

Οι διαιρέτες του 12 είναι: Δ(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Και εδώ δύο σημαντικά:

• Οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον αριθμό. Δεν γίνεται να χωρέσει το 7 μέσα στο 5.
• Οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι λίγοι και μετρημένοι, δεν συνεχίζονται στο άπειρο.

Πώς βρίσκω όλους τους διαιρέτες ενός αριθμού

Δουλεύουμε με ζευγάρια. Ξεκινάμε από το 1 και προχωράμε.

Παράδειγμα. Οι διαιρέτες του 24.

• $1 \times 24 = 24$ → ζευγάρι 1 και 24
• $2 \times 12 = 24$ → ζευγάρι 2 και 12
• $3 \times 8 = 24$ → ζευγάρι 3 και 8
• $4 \times 6 = 24$ → ζευγάρι 4 και 6
• Το 5 δεν διαιρεί το 24. Το επόμενο θα ήταν το 6, που το έχουμε ήδη — σταματάμε.

Δ(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Πολλαπλάσιο ή διαιρέτης; ⚠️

Εδώ μπερδεύονται τα περισσότερα παιδιά. Η διαφορά είναι απλή αν τη σκεφτείς με μέγεθος:

Η κρυφή σχέση ανάμεσά τους 🔗

Πολλαπλάσιο και διαιρέτης είναι οι δύο πλευρές του ίδιου νομίσματος. Κάθε φορά που ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλον ακριβώς, ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα:

Επειδή $24 : 6 = 4$ χωρίς υπόλοιπο, τότε:

• το 6 είναι διαιρέτης του 24
• το 24 είναι πολλαπλάσιο του 6

Είναι σαν τη σχέση «γονιός και παιδί»: δεν μπορεί να υπάρχει η μία χωρίς την άλλη.

Άλλο ένα παράδειγμα: αφού $56 : 8 = 7$, το 8 είναι διαιρέτης του 56 και το 56 πολλαπλάσιο του 8.

Κοινά πολλαπλάσια και Ε.Κ.Π. 🎯

Όταν χρωματίζεις με κόκκινο τα πολλαπλάσια του 2 και με μπλε τα πολλαπλάσια του 5, κάποια κελιά βάφονται και τα δύο — γίνονται μοβ. Αυτά είναι τα κοινά πολλαπλάσια.

Π(2): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …
Π(5): 0, 5, 10, 15, 20, 25, …

Κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 5: 0, 10, 20, 30, …

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών, διαφορετικών από το 0, ονομάζεται το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιό τους, εκτός από το 0.

Πώς βρίσκω το Ε.Κ.Π. βήμα-βήμα

Παράδειγμα. Να βρούμε το Ε.Κ.Π. των 8, 12 και 15.

Βήμα 1. Γράφω αρκετά πολλαπλάσια του καθενός:

• Π(8): 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, …
• Π(12): 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
• Π(15): 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …

Βήμα 2. Ψάχνω ποιος αριθμός εμφανίζεται και στις τρεις γραμμές: το 120.

Βήμα 3. Το μικρότερο κοινό (χωρίς να μετράμε το 0) είναι το 120.

Πού χρησιμεύει το Ε.Κ.Π.

Ο παππούς του Νίκου ποτίζει την τριανταφυλλιά κάθε 2 ημέρες, τη γαριφαλιά κάθε 3 και τον κάκτο κάθε 5. Σήμερα τις πότισε και τις τρεις. Πότε θα ξαναποτίσει και τις τρεις μαζί;

Ψάχνουμε το Ε.Κ.Π.(2, 3, 5). Τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 30, το 60, το 90… Το μικρότερο είναι το 30.

Απάντηση: Θα τις ποτίσει ξανά όλες μαζί σε 30 ημέρες.

Κοινοί διαιρέτες 🤝

Το ίδιο παιχνίδι παίζεται και ανάποδα. Κοινοί διαιρέτες δύο αριθμών είναι οι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς και τους δύο.

Παράδειγμα. Οι κοινοί διαιρέτες των 24 και 60.

• Δ(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Δ(60) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Κοινοί: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ο μεγαλύτερος είναι το 12.

Το 1 είναι πάντα κοινός διαιρέτης όλων των αριθμών, γιατί κάθε αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 1.

Χρήσιμοι κανόνες που ισχύουν πάντα ✅

• Το 1 είναι διαιρέτης κάθε φυσικού αριθμού, γιατί $a : 1 = a$ πάντα.
• Κάθε αριθμός είναι διαιρέτης του εαυτού του: $a : a = 1$.
• Κάθε αριθμός είναι πολλαπλάσιο του εαυτού του: $1 \times a = a$.
• Αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλον, θα διαιρεί και όλα τα πολλαπλάσιά του. Το 3 διαιρεί το 12, άρα διαιρεί και το 24, το 36, το 48.

Παράδειγμα για τον τελευταίο κανόνα. Το 4 διαιρεί το 20 ($20 : 4 = 5$). Τα πολλαπλάσια του 20 είναι 20, 40, 60, 80. Πράγματι $40 : 4 = 10$, $60 : 4 = 15$, $80 : 4 = 20$ — όλα βγαίνουν ακριβώς.