Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς ✖️

Φαντάσου ότι θέλεις να μετρήσεις πόσα αυγά έχει το ψυγείο σου. Έχεις 4 καρτέλες και κάθε καρτέλα έχει 6 αυγά. Θα μπορούσες να μετρήσεις ένα-ένα. Θα μπορούσες και να προσθέσεις $6+6+6+6$ . Υπάρχει όμως και ένας πολύ πιο γρήγορος δρόμος: ο πολλαπλασιασμός.

Τι είναι ο πολλαπλασιασμός 🍫

Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό, ο οποίος λέγεται γινόμενο των αριθμών αυτών.

Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες του γινομένου.

4 \times 6 = 24

Εδώ το 4 και το 6 είναι οι παράγοντες, ενώ το 24 είναι το γινόμενο.

Ο πολλαπλασιασμός είναι στην ουσία μια γρήγορη πρόσθεση ίσων ομάδων. Το $4 \times 6$ σημαίνει «τέσσερις φορές το 6», δηλαδή:

4 \times 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

Δύο παραδείγματα από την καθημερινότητα

Παράδειγμα 1. Ένας υπάλληλος παίρνει για κάθε εβδομάδα που εργάζεται 250 €. Πόσα € παίρνει τον μήνα;

Ο μήνας έχει 4 εβδομάδες. Άρα παίρνει 4 φορές τα 250 €:

4 \times 250\ € = 1.000\ €

Παράδειγμα 2. Η Μαρία έχει 6 βόλους. Ο Γιάννης έχει διπλάσιους βόλους από τη Μαρία. Πόσους βόλους έχει ο Γιάννης;

Το «διπλάσιος» σημαίνει «δύο φορές τόσο». Άρα:

2 \times 6\ \text{βόλοι} = 12\ \text{βόλοι}

Το σημάδι του πολλαπλασιασμού

Το σύμβολο $\times$ το πρωτοχρησιμοποίησε ο Άγγλος μαθηματικός Γουίλιαμ Ότρεντ πριν από περίπου 400 χρόνια. Σήμερα, όταν οι αριθμοί μπερδεύονται με το γράμμα x, οι μαθηματικοί γράφουν μια απλή τελεία στη μέση: το $3 \cdot 5$ είναι ακριβώς το ίδιο με το $3 \times 5$ .

Πότε κάνουμε πολλαπλασιασμό σε ένα πρόβλημα 🤔

Δεν αρκεί να ξέρεις να πολλαπλασιάζεις. Πρέπει να καταλαβαίνεις πότε χρειάζεται πολλαπλασιασμός. Κάνουμε πολλαπλασιασμό σε δύο βασικές περιπτώσεις:

1. Ξέρουμε το ένα και ζητάμε τα πολλά. Ξέρουμε πόσο κάνει ένα κουτί, μία μέρα, ένα εισιτήριο, και θέλουμε το σύνολο για πολλά. Αν ένα βιβλίο κοστίζει 8 €, τα 6 βιβλία κοστίζουν $6 \times 8 = 48$ €.

2. Έχουμε ίσες ομάδες. Αν οι ομάδες είναι όλες ίδιες, ο πολλαπλασιασμός τις μετράει μονομιάς. Αν όμως οι ομάδες δεν είναι ίσες, ο πολλαπλασιασμός δεν κάνει τη δουλειά και πρέπει να προσθέσουμε ξεχωριστά.

Κάποιες λέξεις μέσα στην εκφώνηση μας βοηθούν να το καταλάβουμε:

Λέξη στην εκφώνηση	Τι μας λέει
φορές	επανάλαβε την ποσότητα τόσες φορές
διπλάσιος	πολλαπλασιάζω επί 2
τριπλάσιος	πολλαπλασιάζω επί 3
ο καθένας / κάθε ένας	η ίδια ποσότητα επαναλαμβάνεται
συνολικά (με ίσες ομάδες)	ψάχνουμε το σύνολο

Οι λέξεις-κλειδιά δεν είναι κανόνας

Μην κάνεις πολλαπλασιασμό μόνο και μόνο επειδή είδες τη λέξη «φορές». Στη φράση «ο Γιάννης έχει 3 φορές λιγότερα χρήματα από τον Πέτρο» η πράξη είναι διαίρεση, όχι πολλαπλασιασμός. Πρώτα καταλαβαίνουμε τι λέει το πρόβλημα, μετά διαλέγουμε πράξη.

Ο πίνακας του πολλαπλασιασμού (η προπαίδεια) 🔢

Ο πίνακας του πολλαπλασιασμού, που τον λέμε και προπαίδεια, είναι ένα τετράγωνο με τους αριθμούς από το 0 ως το 10. Σε κάθε κελί γράφουμε το γινόμενο του αριθμού της γραμμής με τον αριθμό της στήλης.

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Δεν χρειάζεται να μάθεις απέξω και τα 121 κελιά. Αρκεί να προσέξεις τα μοτίβα του:

Γραμμή του 0: όλα μηδενικά. Το $7 \times 0$ σημαίνει «πάρε το 7 μηδέν φορές», δηλαδή τίποτα.
Γραμμή του 1: αντιγράφει τους αριθμούς όπως είναι. Το $7 \times 1$ σημαίνει «πάρε το 7 μία φορά», άρα 7.
Γραμμή του 2: μετράμε ανά δύο (0, 2, 4, 6, 8, …). Είναι το διπλάσιο κάθε αριθμού.
Γραμμή του 5: τα γινόμενα τελειώνουν εναλλάξ σε 0 και 5 (0, 5, 10, 15, 20, …).
Γραμμή του 9: κάνουμε $\times 10$ και αφαιρούμε τον αριθμό.
Γραμμή του 10: προσθέτουμε ένα 0 στο τέλος.
Κάθε γραμμή γενικά: προχωράμε προσθέτοντας κάθε φορά τον ίδιο αριθμό. Στη γραμμή του 7 πάμε 0, 7, 14, 21, 28, … προσθέτοντας συνεχώς 7.

Οι τετράγωνοι αριθμοί

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με τον εαυτό του, βγαίνουν οι τετράγωνοι αριθμοί: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Τους βρίσκεις όλους πάνω στη διαγώνιο του πίνακα, από πάνω αριστερά προς κάτω δεξιά.

Λέγονται έτσι γιατί, αν βάλεις κουκκίδες σε 5 γραμμές και 5 στήλες, φτιάχνεις ένα τέλειο τετράγωνο με $5 \times 5 = 25$ κουκκίδες.

Το κρυφό μυστικό του 9

Πρόσθεσε τα ψηφία οποιουδήποτε γινομένου της προπαίδειας του 9: $1+8=9$ , $2+7=9$ , $3+6=9$ , $7+2=9$ , $8+1=9$ . Βγαίνει πάντα 9! Και κάτι ακόμη: το πρώτο ψηφίο μεγαλώνει κατά ένα (1, 2, 3, 4, …) ενώ το δεύτερο μικραίνει κατά ένα (8, 7, 6, 5, …).

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού 🧩

Ο πολλαπλασιασμός έχει τρεις «κανόνες του παιχνιδιού» που μας γλιτώνουν πολλή δουλειά.

1. Αντιμεταθετική ιδιότητα: η σειρά δεν μετράει

Το γινόμενο δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων.

3 \times 8 = 8 \times 3 = 24

Γιατί; Φαντάσου κουκκίδες σε 3 γραμμές με 8 κουκκίδες η καθεμιά. Αν γυρίσεις το χαρτί στο πλάι, βλέπεις 8 γραμμές με 3 κουκκίδες. Οι κουκκίδες είναι οι ίδιες, απλώς τις κοιτάς αλλιώς.

Αυτό είναι πολύ χρήσιμο: το $2 \times 47$ το κάνεις πιο εύκολα με το μυαλό σου παρά το $47 \times 2$ , και δίνουν και τα δύο 94.

2. Προσεταιριστική ιδιότητα: διαλέγω ποια δύο θα ενώσω πρώτα

Όταν πολλαπλασιάζουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, μπορούμε να ξεκινήσουμε από όποιο ζευγάρι μας βολεύει.

25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1.700

Το $25 \times 4 = 100$ είναι πανεύκολο, ενώ το $25 \times 17$ θα ήταν βάσανο. Άλλο παράδειγμα:

125 \times 16 \times 8 = (125 \times 8) \times 16 = 1.000 \times 16 = 16.000

3. Επιμεριστική ιδιότητα: σπάω έναν αριθμό σε κομμάτια

Μπορούμε να σπάσουμε τον έναν παράγοντα σε άθροισμα, να πολλαπλασιάσουμε ξεχωριστά και μετά να προσθέσουμε.

15 \times 12 = (10 \times 12) + (5 \times 12) = 120 + 60 = 180

Αυτή είναι η πιο σημαντική ιδιότητα από όλες, γιατί πάνω της στηρίζεται όλος ο πολλαπλασιασμός με μεγάλους αριθμούς.

Προσοχή στο μηδέν και το ένα

Το 1 και το 0 συμπεριφέρονται πολύ διαφορετικά. Ο πολλαπλασιασμός με το 1 αφήνει τον αριθμό όπως είναι ( $340 \times 1 = 340$ ), ενώ ο πολλαπλασιασμός με το 0 τον μηδενίζει ( $340 \times 0 = 0$ ). Μην τα μπερδέψεις: στην πρόσθεση το ουδέτερο είναι το 0, στον πολλαπλασιασμό είναι το 1.

Πολλαπλασιασμός με 10, 100, 1.000 🔟

Αυτή είναι η πιο εύκολη περίπτωση και πρέπει να τη μάθεις καλά, γιατί τη χρειάζεσαι παντού.

Κανόνας: για να πολλαπλασιάσουμε έναν φυσικό αριθμό με το 10, το 100, το 1.000 κ.ο.κ., γράφουμε τον αριθμό και προσθέτουμε στο τέλος του τόσα μηδενικά όσα έχει ο άλλος παράγοντας.

Πράξη	Γινόμενο
$6 \times 10$	60
$6 \times 100$	600
$6 \times 1.000$	6.000
$6 \times 10.000$	60.000
$75 \times 10$	750
$75 \times 100$	7.500
$75 \times 1.000$	75.000

Ο κανόνας δουλεύει και όταν και οι δύο αριθμοί τελειώνουν σε μηδενικά. Πολλαπλασιάζουμε τα «μπροστινά» ψηφία και βάζουμε στο τέλος όλα τα μηδενικά μαζί:

20 \times 800 = (2 \times 8) \times 1.000 = 16 \times 1.000 = 16.000

50 \times 900 = (5 \times 9) \times 1.000 = 45 \times 1.000 = 45.000

Γιατί μπαίνει το μηδενικό

Δεν είναι μαγικό κόλπο. Όταν πολλαπλασιάζουμε με το 10, κάθε ψηφίο μετακομίζει μία θέση αριστερά: οι μονάδες γίνονται δεκάδες, οι δεκάδες εκατοντάδες. Στην άδεια θέση των μονάδων που μένει μπαίνει ένα 0. Με το 100 μετακομίζουν δύο θέσεις, με το 1.000 τρεις.

Στρατηγικές νοερού υπολογισμού 🧠

Πολλές πράξεις γίνονται με το μυαλό, χωρίς χαρτί, αν διαλέξεις έξυπνο δρόμο.

Στρογγυλοποιώ και διορθώνω

Όταν ο ένας αριθμός είναι κοντά σε στρογγυλό, πάω στον στρογγυλό και μετά διορθώνω.

8 \times 9 = (8 \times 10) - 8 = 80 - 8 = 72

Γιατί δουλεύει; Το $8 \times 9$ σημαίνει «εννιά οκτάδες», ενώ το $8 \times 10$ σημαίνει «δέκα οκτάδες». Πήραμε μία οκτάδα παραπάνω, οπότε την αφαιρούμε.

Ο κανόνας γενικεύεται:

α \times 9 = (α \times 10) - α

Και δουλεύει το ίδιο και για άλλους αριθμούς κοντά σε στρογγυλούς:

Πράξη	Πώς τη σκέφτομαι	Γινόμενο
$16 \times 11$	$160 + 16$	176
$57 \times 29$	$1.710 - 57$	1.653
$27 \times 99$	$2.700 - 27$	2.673
$45 \times 999$	$45.000 - 45$	44.955
$14 \times 101$	$1.400 + 14$	1.414

Διπλασιάζω και μισεύω

Αν ο ένας παράγοντας είναι ζυγός, τον κόβω στη μέση και διπλασιάζω τον άλλον. Το γινόμενο μένει ίδιο.

16 \times 25 = 8 \times 50 = 4 \times 100 = 400

Ξεκινάω από ένα γινόμενο που ήδη ξέρω

Αν ξέρεις ότι $4 \times 4 = 16$ , βρίσκεις εύκολα το $4 \times 7$ . Το $4 \times 7$ είναι «εφτά τετράδες», ενώ το $4 \times 4$ είναι «τέσσερις τετράδες». Χρειάζεσαι τρεις τετράδες παραπάνω:

4 \times 7 = (4 \times 4) + (4 \times 3) = 16 + 12 = 28

Πρόσθεσε ολόκληρη την ομάδα, όχι μονάδες

Το συχνότερο λάθος εδώ είναι να σκεφτεί κανείς «από το 4 πάω στο 7, τρία βήματα, άρα $16 + 3 = 19$ ». Λάθος! Κάθε βήμα στην προπαίδεια του 4 προσθέτει μία ολόκληρη τετράδα, δηλαδή 4, όχι 1. Το ίδιο και στο $8 \times 9$ : αφαιρούμε 8, όχι 1 και όχι 9.

Πολλαπλασιασμός διψήφιων αριθμών με ανάλυση 📐

Όταν οι αριθμοί μεγαλώσουν, σπάμε και τους δύο παράγοντες σε δεκάδες και μονάδες. Κάθε κομμάτι του ενός πολλαπλασιάζεται με κάθε κομμάτι του άλλου, και στο τέλος τα προσθέτουμε όλα.

Παράδειγμα: $23 \times 32$

Σπάμε: $23 = 20 + 3$ και $32 = 30 + 2$ .

23 \times 32 = (20 \times 30) + (20 \times 2) + (3 \times 30) + (3 \times 2)

= 600 + 40 + 90 + 6 = 736

Παράδειγμα: $39 \times 13$

39 \times 13 = (30 \times 10) + (30 \times 3) + (9 \times 10) + (9 \times 3)

= 300 + 90 + 90 + 27 = 507

Παράδειγμα: $66 \times 54$

66 \times 54 = (60 \times 50) + (60 \times 4) + (6 \times 50) + (6 \times 4)

= 3.000 + 240 + 300 + 24 = 3.564

Τέσσερα γινόμενα, όχι δύο

Το πιο συχνό λάθος στους διψήφιους είναι να πολλαπλασιάσουμε μόνο «δεκάδες με δεκάδες και μονάδες με μονάδες»: $23 \times 32 = 600 + 6 = 606$ . Λάθος! Χρειάζονται και τα τέσσερα γινόμενα. Ένας γρήγορος έλεγχος: το $23 \times 32$ πρέπει να είναι γύρω στο $20 \times 30 = 600$ , αλλά αρκετά μεγαλύτερο. Το 736 ταιριάζει, το 606 όχι.

Ο κάθετος πολλαπλασιασμός ➗

Ο κάθετος πολλαπλασιασμός είναι ο ίδιος ακριβώς τρόπος, γραμμένος πιο σύντομα. Γράφουμε τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον, με τις μονάδες κάτω από τις μονάδες.

Παράδειγμα: $23 \times 35$

Βήμα 1. Πολλαπλασιάζουμε το 23 με τις μονάδες του 35, δηλαδή με το 5:

23 \times 5 = 115

Βήμα 2. Πολλαπλασιάζουμε το 23 με τις δεκάδες του 35, δηλαδή με το 30. Γράφουμε το $23 \times 3 = 69$ μετατοπισμένο μία θέση αριστερά, γιατί στην πραγματικότητα είναι 690:

23 \times 30 = 690

Βήμα 3. Προσθέτουμε τα δύο μερικά γινόμενα:

115 + 690 = 805

Άρα $23 \times 35 = 805$ .

Αν αλλάξουμε τη σειρά και κάνουμε $35 \times 23$ , τα ενδιάμεσα νούμερα είναι διαφορετικά ( $105$ και $700$ ), αλλά το γινόμενο βγαίνει πάλι 805. Είναι η αντιμεταθετική ιδιότητα στην πράξη.

Πράξη	Μερικά γινόμενα	Γινόμενο
$23 \times 35$	$115 + 690$	805
$35 \times 23$	$105 + 700$	805
$59 \times 46$	$354 + 2.360$	2.714
$46 \times 59$	$414 + 2.300$	2.714

Μην ξεχάσεις τη μετατόπιση

Το μεγαλύτερο λάθος στον κάθετο πολλαπλασιασμό είναι να γράψεις τη δεύτερη σειρά χωρίς να τη μετατοπίσεις. Το 69 της δεύτερης σειράς δεν είναι 69, είναι 690, γιατί πολλαπλασιάσαμε με δεκάδες. Αν το ξεχάσεις, θα βρεις 184 αντί για 805.

Λύνουμε προβλήματα βήμα βήμα 🧮

Πρόβλημα. Η Δανάη πληρώνεται 8 € την ώρα και εργάζεται 38 ώρες την εβδομάδα. Πόσος είναι ο μηνιαίος μισθός της;

Βήμα 1. Βρίσκουμε πόσα παίρνει σε μία εβδομάδα:

8 \times 38 = 304\ €

Βήμα 2. Ο μήνας έχει 4 εβδομάδες:

304 \times 4 = 1.216\ €

Απάντηση: Ο μηνιαίος μισθός της Δανάης είναι 1.216 €.

Θα μπορούσαμε να το γράψουμε και μονομιάς, χάρη στην προσεταιριστική ιδιότητα:

8 \times 38 \times 4 = 1.216\ €

Πρόβλημα. Δύο ενήλικες πληρώνουν από 23 € και τέσσερα παιδιά από 13 € για ένα εισιτήριο. Δίνουν στο ταμείο δύο χαρτονομίσματα των 50 €. Πόσα ρέστα παίρνουν;

Βήμα 1. Το κόστος για τους ενήλικες και τα παιδιά:

(2 \times 23) + (4 \times 13) = 46 + 52 = 98\ €

Βήμα 2. Τα χρήματα που έδωσαν:

2 \times 50 = 100\ €

Βήμα 3. Τα ρέστα:

100 - 98 = 2\ €

Απάντηση: Πήραν 2 € ρέστα.

Ο έλεγχος με εκτίμηση

Πριν γράψεις την απάντηση, κάνε μια γρήγορη εκτίμηση με στρογγυλούς αριθμούς. Για το $57 \times 29$ σκέψου $60 \times 30 = 1.800$ . Αν το αποτέλεσμά σου είναι 1.653, είναι λογικό. Αν βρήκες 165 ή 16.530, κάτι πήγε στραβά. Αυτός ο έλεγχος των δύο δευτερολέπτων πιάνει τα περισσότερα λάθη.