Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ➕

Το Μουσείο της Ακρόπολης άνοιξε τον Ιούνιο του 2009. Τον πρώτο χρόνο το επισκέφθηκαν 1.950.539 άνθρωποι και τον δεύτερο 1.309.859. Αν θέλεις να μάθεις πόσοι το είδαν συνολικά στα δύο πρώτα χρόνια, κάνεις πρόσθεση. Αν θέλεις να μάθεις πόσοι λιγότεροι ήρθαν τον δεύτερο χρόνο, κάνεις αφαίρεση. Δύο πράξεις, δύο διαφορετικές ερωτήσεις.

Τι είναι η πρόσθεση ➕

Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο ή περισσότερους φυσικούς αριθμούς βρίσκουμε έναν άλλο φυσικό αριθμό, που λέγεται άθροισμα.

Οι αριθμοί που προσθέτουμε λέγονται προσθετέοι.

Εδώ το 1.950.539 και το 1.309.859 είναι οι προσθετέοι και το 3.260.398 είναι το άθροισμα.

Την πρόσθεση τη χρησιμοποιούμε όταν ενώνουμε ποσότητες ή όταν προσθέτουμε κάτι σε αυτά που ήδη έχουμε. Στην τάξη σου, αν τα αγόρια είναι 11 και τα κορίτσια 13, τα παιδιά όλα μαζί είναι $11 + 13 = 24$.

Τι είναι η αφαίρεση ➖

Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς, τον μειωτέο και τον αφαιρετέο, βρίσκουμε έναν τρίτο αριθμό, που λέγεται διαφορά.

Ο μειωτέος είναι ο αριθμός που έχουμε στην αρχή. Ο αφαιρετέος είναι αυτό που φεύγει. Η διαφορά είναι αυτό που μένει.

Την αφαίρεση τη χρησιμοποιούμε σε τρεις περιπτώσεις:

• Όταν φεύγει κάτι: είχα 50 €, ξόδεψα 18 €, μου μένουν $50 - 18 = 32$ €.
• Όταν συγκρίνουμε δύο ποσότητες: ο Νίκος έχει 457 γραμματόσημα, η Δανάη 380· ο Νίκος έχει $457 - 380 = 77$ περισσότερα.
• Όταν ψάχνουμε τι λείπει: έχω 24 σελίδες από τις 60· μου μένουν $60 - 24 = 36$.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις 🔁

Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι σαν δύο δρόμοι που πάνε ο ένας εμπρός και ο άλλος πίσω. Αν προσθέσουμε τη διαφορά στον αφαιρετέο, ξαναπαίρνουμε τον μειωτέο.

Αυτή είναι και η πιο σίγουρη επαλήθευση για την αφαίρεση: κάνε την πρόσθεση προς τα πίσω και δες αν βγαίνει ο πρώτος αριθμός.

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης 🧩

Η πρόσθεση έχει τρεις ιδιότητες που μας γλιτώνουν πολλή δουλειά.

Αντιμεταθετική ιδιότητα

Αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων, το άθροισμα δεν αλλάζει.

Έτσι ακριβώς σκέφτηκε ο Αντρέι όταν το έγραψε. Δύο σακούλες με μπίλιες κάνουν τις ίδιες μπίλιες, όποια κι αν αδειάσεις πρώτη.

Προσεταιριστική ιδιότητα

Μπορούμε να ενώσουμε πρώτα όποιους προσθετέους μας βολεύουν.

Το 37 με το 63 κάνουν στρογγυλά 100, οπότε το υπόλοιπο γίνεται παιχνιδάκι.

Το 0 δεν αλλάζει τίποτα

Αν προσθέσουμε το 0 σε έναν αριθμό, ο αριθμός μένει ίδιος: $5.408 + 0 = 5.408$. Το ίδιο και στην αφαίρεση: $5.408 - 0 = 5.408$.

Κάθετη πρόσθεση βήμα-βήμα 📐

Όταν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, γράφουμε την πράξη κάθετα. Ο κανόνας είναι ένας: Μονάδες κάτω από Μονάδες, Δεκάδες κάτω από Δεκάδες, Εκατοντάδες κάτω από Εκατοντάδες, και ούτω καθεξής.

Γιατί; Επειδή προσθέτουμε ίδια πράγματα με ίδια πράγματα. Δεν μπορείς να προσθέσεις μήλα με πορτοκάλια, ούτε δεκάδες με μονάδες. Αν στοιχίσεις λάθος τα ψηφία, προσθέτεις λάθος αξίες και το αποτέλεσμα βγαίνει τελείως στραβό.

Παράδειγμα. Να υπολογίσουμε το $41.785 + 59.183$.

Βήμα 1 — Μονάδες: $5 + 3 = 8$. Γράφουμε 8.
Βήμα 2 — Δεκάδες: $8 + 8 = 16$. Δεκάξι δεκάδες είναι 1 Εκατοντάδα και 6 Δεκάδες. Γράφουμε 6 και κρατάμε 1 για τις Εκατοντάδες.
Βήμα 3 — Εκατοντάδες: $7 + 1 = 8$, και το 1 που κρατήσαμε κάνει 9. Γράφουμε 9.
Βήμα 4 — Χιλιάδες: $1 + 9 = 10$. Γράφουμε 0 και κρατάμε 1.
Βήμα 5 — Δεκάδες Χιλιάδων: $4 + 5 = 9$, και το 1 που κρατήσαμε κάνει 10. Γράφουμε 10.

Αυτό το «κρατούμενο» είναι στην πραγματικότητα μια αναομαδοποίηση: όταν μαζευτούν 10 Μονάδες, τις ανταλλάσσουμε με 1 Δεκάδα και τη στέλνουμε μία θέση αριστερά. Ακριβώς όπως όταν 10 κέρματα του 1 € γίνονται ένα χαρτονόμισμα των 10 €.

Κάθετη αφαίρεση βήμα-βήμα 📉

Στην κάθετη αφαίρεση γράφουμε πάνω τον μειωτέο και από κάτω τον αφαιρετέο, πάλι στοιχισμένους στις σωστές θέσεις.

Καμιά φορά ένα ψηφίο του μειωτέου είναι μικρότερο από το αντίστοιχο ψηφίο του αφαιρετέου. Τότε δανειζόμαστε από τη διπλανή θέση αριστερά: σπάμε 1 Εκατοντάδα σε 10 Δεκάδες, ή 1 Δεκάδα σε 10 Μονάδες.

Παράδειγμα. Να υπολογίσουμε το $59.183 - 41.785$.

Βήμα 1 — Μονάδες: το 5 δεν αφαιρείται από το 3. Δανειζόμαστε 1 Δεκάδα από το 8, που γίνεται 7, και οι Μονάδες γίνονται 13. Τώρα $13 - 5 = 8$.
Βήμα 2 — Δεκάδες: το 8 δεν αφαιρείται από το 7. Δανειζόμαστε 1 Εκατοντάδα από το 1, που γίνεται 0, και οι Δεκάδες γίνονται 17. Τώρα $17 - 8 = 9$.
Βήμα 3 — Εκατοντάδες: $0 - 7$ δεν γίνεται. Δανειζόμαστε 1 Χιλιάδα από το 9, που γίνεται 8, και οι Εκατοντάδες γίνονται 10. Τώρα $10 - 7 = 3$.
Βήμα 4 — Χιλιάδες: $8 - 1 = 7$.
Βήμα 5 — Δεκάδες Χιλιάδων: $5 - 4 = 1$.

Επαλήθευση: $17.398 + 41.785 = 59.183$. Σωστά!

Νοεροί υπολογισμοί 🧠

Δεν χρειάζεται πάντα χαρτί. Τρεις στρατηγικές που δουλεύουν:

1. Στρογγυλοποιώ και διορθώνω. Για το $4.998 + 350$, σκέψου $5.000 + 350 = 5.350$ και μετά αφαίρεσε τα 2 που δανείστηκες: $5.348$.

2. Σπάω σε βολικά κομμάτια. Για το $2.000.750 + 6.200.250$, πρόσθεσε χωριστά: $2.000.000 + 6.200.000 = 8.200.000$ και $750 + 250 = 1.000$. Σύνολο $8.201.000$.

3. Μετράω προς τα εμπρός στην αφαίρεση. Για το $1.653.000 - 997.000$, σκέψου «πόσο θέλει το 997.000 για να φτάσει το 1.653.000;». Πρώτα 3.000 για να γίνει 1.000.000, μετά 653.000. Σύνολο $656.000$.

Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα 🎯

Τα προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση λύνονται σε τέσσερα βήματα.

Παράδειγμα. Η Δανάη έχει 457 γραμματόσημα. Αν ο Νίκος τής δώσει 39 από τα δικά του, θα έχουν τα ίδια. Πόσα έχει ο Νίκος;

Αν ο Νίκος δώσει 39, η Δανάη θα έχει $457 + 39 = 496$. Άρα και ο Νίκος θα μείνει με 496. Όμως αυτά είναι αφού έδωσε τα 39. Πριν τα δώσει είχε $496 + 39 = 535$.

Απάντηση: Ο Νίκος έχει 535 γραμματόσημα.