1ο επαναληπτικό: όλη η Ενότητα 1 μαζί 🔁

Φτάσαμε στο τέλος της πρώτης ενότητας. Εδώ δεν μαθαίνουμε καινούργια πράγματα — μαζεύουμε όσα μάθαμε, τα βάζουμε σε σειρά και βλέπουμε πώς συνδέονται μεταξύ τους.

Σε αυτά τα κεφάλαια έμαθες:

• να διαβάζεις, να γράφεις και να αναγνωρίζεις φυσικούς αριθμούς
• να αναγνωρίζεις την αξία θέσης κάθε ψηφίου
• να αναλύεις και να συνθέτεις αριθμούς με διαφορετικούς τρόπους
• να συγκρίνεις και να διατάσσεις φυσικούς αριθμούς
• να στρογγυλοποιείς και να κάνεις νοερούς υπολογισμούς
• να λύνεις προβλήματα με φυσικούς αριθμούς

Οι φυσικοί αριθμοί: η βάση όλων 1️⃣

Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί με τους οποίους μετράμε:

Ξεκινούν από το 0 και συνεχίζουν χωρίς τέλος. Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο (τον βρίσκουμε προσθέτοντας 1) και, εκτός από το 0, έναν προηγούμενο (τον βρίσκουμε αφαιρώντας 1).

Άρτιοι και περιττοί

Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο μεγάλες οικογένειες:

Για να καταλάβεις αν ένας αριθμός είναι άρτιος ή περιττός, κοιτάς μόνο το τελευταίο του ψηφίο. Δεν έχει σημασία πόσο μεγάλος είναι.

Αξία θέσης: το ίδιο ψηφίο, διαφορετική αξία 🔢

Με μόνο δέκα ψηφία (0 έως 9) γράφουμε όλους τους αριθμούς, επειδή κάθε ψηφίο παίρνει την αξία του από τη θέση που κατέχει.

Οι θέσεις οργανώνονται σε κλάσεις των τριών ψηφίων, και μέσα σε κάθε κλάση επαναλαμβάνεται το ίδιο μοτίβο: Μονάδες, Δεκάδες, Εκατοντάδες.

Η αξία κάθε θέσης είναι δέκα φορές μικρότερη από την αριστερή της και δέκα φορές μεγαλύτερη από τη δεξιά της. Γι' αυτό το σύστημά μας λέγεται δεκαδικό.

Ανάλυση και σύνθεση

Αναλύω σημαίνει σπάω τον αριθμό σε άθροισμα της αξίας των ψηφίων του.

Λυμένο παράδειγμα: να αναλύσουμε τον 2.709.036.

Τα ψηφία στις θέσεις τους: 2 (ΜΕ), 7 (ΕΧ), 0 (ΔΧ), 9 (ΜΧ), 0 (Ε), 3 (Δ), 6 (Μ).

Συνθέτω σημαίνει το αντίστροφο: από τα κομμάτια φτιάχνω τον αριθμό.

Λυμένο παράδειγμα: ποιος αριθμός έχει 3ΔΕ, 6ΕΧ, 3ΔΧ και 9Μ;

Σύγκριση και διάταξη ⚖️

Για να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς ακολουθούμε πάντα την ίδια σειρά δύο βημάτων.

Βήμα 1: μετράμε τα ψηφία. Αν έχουν διαφορετικό πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι αυτός με τα περισσότερα.

Ο πρώτος έχει οκτώ ψηφία, ο δεύτερος επτά. Τελειώσαμε.

Βήμα 2: αν τα ψηφία είναι ίσα σε πλήθος, συγκρίνουμε ψηφίο προς ψηφίο από τα αριστερά προς τα δεξιά και σταματάμε στην πρώτη διαφορά.

Και οι δύο έχουν οκτώ ψηφία. Το πρώτο ψηφίο είναι 1 και στους δύο. Στις Μονάδες Εκατομμυρίων ο ένας έχει 6 και ο άλλος 5, οπότε $6 > 5$ και η απόφαση έχει παρθεί.

Διάταξη: λυμένο παράδειγμα

Να βάλουμε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο: 3.508.970, 350.890, 459.810, 45.890.000, 45.258.

Πρώτα μετράμε ψηφία και τους ομαδοποιούμε: ο 45.258 έχει 5, οι 350.890 και 459.810 έχουν 6, ο 3.508.970 έχει 7 και ο 45.890.000 έχει 8.

Στην ομάδα των εξαψήφιων συγκρίνουμε από αριστερά: $3 < 4$, άρα $350.890 < 459.810$.

Στρογγυλοποίηση 🎯

Στρογγυλοποίηση είναι η αντικατάσταση ενός αριθμού με κάποιον λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερό του, που τελειώνει σε μηδενικά.

Ο κανόνας σε τρία βήματα:

1. Βρίσκουμε τη θέση στην οποία θα στρογγυλοποιήσουμε.
2. Κοιτάζουμε το ψηφίο στην αμέσως επόμενη δεξιά θέση.
3. Αν είναι 0-4, το ψηφίο της θέσης μένει ίδιο. Αν είναι 5-9, αυξάνεται κατά ένα. Σε κάθε περίπτωση, όλα από εκείνο το σημείο και δεξιά γίνονται μηδενικά.

Λυμένο παράδειγμα: ο 12.453.089 σε τέσσερις θέσεις

Ας στρογγυλοποιήσουμε τον ίδιο αριθμό σε διαφορετικές θέσεις και ας δούμε τη διαφορά.

Πρόσεξε πόσο πιο «χοντρικό» γίνεται το αποτέλεσμα όσο ανεβαίνουμε σε μεγαλύτερες θέσεις.

Στρογγυλοποίηση για νοερούς υπολογισμούς

Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα 🧠

Όλα τα παραπάνω γίνονται εργαλεία όταν λύνουμε προβλήματα. Ακολουθούμε πάντα πέντε βήματα:

1. Διαβάζω και διακρίνω. Τι μου δίνει το πρόβλημα και τι μου ζητάει;
2. Σχεδιάζω. Ποιες πράξεις χρειάζομαι και με ποια σειρά;
3. Λύνω. Κάνω τις πράξεις προσεκτικά.
4. Απαντώ. Γράφω μια πλήρη πρόταση, με τη μονάδα μέτρησης.
5. Αναστοχάζομαι. Είναι λογικό το αποτέλεσμα;

Λυμένο πρόβλημα 1: η σκάλα με τα τουβλάκια

Ένα παιδί φτιάχνει σκάλα με τουβλάκια. Για το πρώτο σκαλοπάτι χρησιμοποιεί 1 τουβλάκι, για το δεύτερο 2, για το τρίτο 3 και ούτω καθεξής. Πόσα τουβλάκια χρειάζεται για σκάλα με 10 σκαλοπάτια;

Διακρίνω: κάθε σκαλοπάτι χρειάζεται τόσα τουβλάκια όσος είναι ο αριθμός του.

Σχεδιάζω: πρέπει να προσθέσω 1 + 2 + 3 + ... + 10.

Λύνω: ένα έξυπνο κόλπο είναι να φτιάξω ζευγάρια που δίνουν το ίδιο άθροισμα:

Δηλαδή πέντε ζευγάρια των 11, άρα $5 \times 11 = 55$.

Απαντώ: χρειάζεται 55 τουβλάκια.

Αναστοχάζομαι: 10 σκαλοπάτια με κατά μέσο όρο 5 ή 6 τουβλάκια το καθένα δίνουν γύρω στα 55. Λογικό.

Λυμένο πρόβλημα 2: τα τελάρα με τα μήλα

Σε 3 τελάρα χωράνε 12 κιλά μήλα. Πόσα κιλά χωράνε σε 246 τελάρα;

Διακρίνω: ξέρω πόσα κιλά χωράνε σε 3 τελάρα και θέλω για 246.

Σχεδιάζω: πρώτα βρίσκω πόσα κιλά χωράνε σε ένα τελάρο, μετά πολλαπλασιάζω.

Λύνω:

Απαντώ: σε 246 τελάρα χωράνε 984 κιλά μήλα.

Αναστοχάζομαι: στρογγυλοποιώντας, $4 \times 250 = 1.000$, που είναι πολύ κοντά στο 984. Σωστό.

Λυμένο πρόβλημα 3: ο κουμπαράς

Ένα κορίτσι ανοίγει τον κουμπαρά της και βρίσκει 146 κέρματα των 50 λεπτών. Με αυτά αγοράζει μια μπλούζα 15 €, ένα παντελόνι 20 € και ένα μπουφάν. Πόσα € κοστίζει το μπουφάν, αν δεν πάρει καθόλου ρέστα;

Λύνω βήμα-βήμα:

Τα 146 κέρματα των 50 λεπτών: κάθε δύο κέρματα κάνουν 1 €, άρα

Ξόδεψε για μπλούζα και παντελόνι:

Της απομένουν:

Απαντώ: το μπουφάν κοστίζει 38 €.

Λυμένο πρόβλημα 4: τα πορτοκάλια

Την πρώτη ημέρα μαζεύτηκαν 8 πορτοκάλια, τη δεύτερη τριπλάσια από την πρώτη, την τρίτη διπλάσια από τη δεύτερη και την τέταρτη τόσα όσα όλες οι προηγούμενες μαζί. Πόσα μαζεύτηκαν συνολικά;

Λύνω ημέρα προς ημέρα:

• 1η ημέρα: 8
• 2η ημέρα: $3 \times 8 = 24$
• 3η ημέρα: $2 \times 24 = 48$
• Σύνολο τριών πρώτων ημερών: $8 + 24 + 48 = 80$
• 4η ημέρα: όσα όλες οι προηγούμενες, δηλαδή 80

Σύνολο:

Απαντώ: μαζεύτηκαν 160 πορτοκάλια και τις τέσσερις ημέρες.

Πώς συνδέονται όλα μεταξύ τους 🔗

Δες πώς το ένα κεφάλαιο στηρίζεται πάνω στο άλλο:

Η αξία θέσης είναι η καρδιά της ενότητας. Αν την ξέρεις καλά, τότε η σύγκριση, η διάταξη και η στρογγυλοποίηση γίνονται εύκολες, γιατί όλες στηρίζονται πάνω της.