Σύγκριση και διάταξη στους φυσικούς αριθμούς ⚖️

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος, το 16.230.010 ή το 6.513.010; Με μια ματιά ίσως μπερδευτείς, γιατί ο δεύτερος αρχίζει από 6 και ο πρώτος από 1. Όμως η απάντηση είναι εύκολη, αν ακολουθήσεις τη σωστή σειρά βημάτων.

Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε να συγκρίνουμε δύο αριθμούς, δηλαδή να βρίσκουμε ποιος είναι μεγαλύτερος, και να τους διατάσσουμε, δηλαδή να τους βάζουμε στη σειρά.

Τα σύμβολα της σύγκρισης 🔣

Όταν συγκρίνουμε δύο αριθμούς χρησιμοποιούμε τρία σύμβολα:

Το μυστικό για να μην μπερδεύεσαι: το «στόμα» του συμβόλου ανοίγει πάντα προς τον μεγαλύτερο αριθμό, ενώ η μύτη δείχνει τον μικρότερο. Σαν πεινασμένο κροκοδειλάκι που θέλει να φάει τη μεγαλύτερη ποσότητα!

Κανόνας 1: αριθμοί με διαφορετικό πλήθος ψηφίων 📏

Ο πρώτος κανόνας είναι και ο πιο γρήγορος:

Αν δύο φυσικοί αριθμοί έχουν διαφορετικό πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει τα περισσότερα ψηφία.

Λυμένο παράδειγμα

Να συγκρίνουμε τους αριθμούς 16.230.010 και 6.513.010.

Βήμα 1. Μετράμε τα ψηφία του καθενός.

• Ο 16.230.010 έχει οκτώ ψηφία.
• Ο 6.513.010 έχει επτά ψηφία.

Βήμα 2. Οκτώ ψηφία είναι περισσότερα από επτά, άρα:

Δεν χρειάστηκε καν να κοιτάξουμε τα ψηφία ένα-ένα!

Κανόνας 2: αριθμοί με ίσο πλήθος ψηφίων 🔍

Αν δύο φυσικοί αριθμοί έχουν ίσο πλήθος ψηφίων, συγκρίνουμε τα ψηφία τους ένα-ένα ξεκινώντας από τα αριστερά προς τα δεξιά. Στην πρώτη θέση όπου τα ψηφία διαφέρουν, μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που έχει το μεγαλύτερο ψηφίο.

Γιατί ξεκινάμε από τα αριστερά; Επειδή εκεί βρίσκονται τα ψηφία με τη μεγαλύτερη αξία. Μία μονάδα εκατομμυρίου ζυγίζει περισσότερο από χίλιες εννιακόσιες ενενήντα εννέα χιλιάδες μαζί.

Λυμένο παράδειγμα

Να συγκρίνουμε τους αριθμούς 16.230.010 και 15.130.109.

Βήμα 1. Μετράμε τα ψηφία: και οι δύο έχουν οκτώ. Άρα προχωράμε στον δεύτερο κανόνα.

Βήμα 2. Συγκρίνουμε από αριστερά:

• Στις Δεκάδες Εκατομμυρίων: 1 και 1. Ίδια, συνεχίζουμε.
• Στις Μονάδες Εκατομμυρίων: 6 και 5. Διαφορετικά! Εδώ σταματάμε.

Βήμα 3. Επειδή $6 > 5$ στις Μονάδες Εκατομμυρίων:

Δεν χρειάζεται να κοιτάξουμε τα υπόλοιπα ψηφία. Μόλις βρούμε την πρώτη διαφορά, η απόφαση έχει παρθεί.

Ένα ακόμη παράδειγμα

Να συγκρίνουμε τους 2.398.726 και 2.397.726.

Και οι δύο είναι επταψήφιοι. Πάμε από αριστερά: 2 και 2 ίδια, 3 και 3 ίδια, 9 και 9 ίδια, 8 και 7 διαφορετικά.

Αφού $8 > 7$ στις Μονάδες Χιλιάδων, έχουμε $2.398.726 > 2.397.726$.

Διάταξη: βάζω πολλούς αριθμούς στη σειρά 📶

Διάταξη ονομάζουμε το να τοποθετούμε πολλούς αριθμούς στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο (αύξουσα σειρά) ή από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο (φθίνουσα σειρά).

Η στρατηγική είναι απλή:

1. Μετράμε πόσα ψηφία έχει ο καθένας και τους χωρίζουμε σε ομάδες.
2. Οι αριθμοί με λιγότερα ψηφία μπαίνουν όλοι πριν από αυτούς με περισσότερα.
3. Μέσα σε κάθε ομάδα συγκρίνουμε ψηφίο προς ψηφίο, από αριστερά.

Λυμένο παράδειγμα

Να βάλουμε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, τους αριθμούς:
3.508.970, 350.890, 459.810, 45.890.000, 45.258.

Βήμα 1. Μετράμε ψηφία:

Βήμα 2. Μόνο δύο αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων: ο 350.890 και ο 459.810. Τους συγκρίνουμε από αριστερά: το 3 είναι μικρότερο από το 4, άρα $350.890 < 459.810$.

Βήμα 3. Γράφουμε τη σειρά:

Προηγούμενος και επόμενος αριθμός ↔️

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν προηγούμενο και έναν επόμενο:

• Ο επόμενος βρίσκεται αν προσθέσουμε 1.
• Ο προηγούμενος βρίσκεται αν αφαιρέσουμε 1.

Για παράδειγμα, ο επόμενος του 356.099 είναι 356.100 και ο προηγούμενός του είναι 356.098.

Η αριθμογραμμή βοηθάει 📏

Η αριθμογραμμή είναι ένας πολύ καλός βοηθός. Πάνω της οι αριθμοί μπαίνουν με τη σειρά τους: όσο πηγαίνουμε προς τα δεξιά, οι αριθμοί μεγαλώνουν. Όσο πηγαίνουμε προς τα αριστερά, μικραίνουν.

Έτσι, από δύο αριθμούς πάνω στην αριθμογραμμή, μεγαλύτερος είναι πάντα αυτός που βρίσκεται δεξιότερα.

Παράδειγμα με τρεις αριθμούς

Με τα ψηφία 2, 7 και 9, χρησιμοποιώντας το καθένα μία φορά, φτιάχνουμε έξι τριψήφιους αριθμούς:

279, 297, 729, 792, 927, 972

Βάζοντάς τους στη σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο:

Πάνω στην αριθμογραμμή θα τους βλέπαμε να απλώνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με αυτή ακριβώς τη σειρά.

Μεγαλύτεροι και μικρότεροι αριθμοί μιας κατηγορίας 🏆

Πολλές ασκήσεις ζητούν τον μεγαλύτερο ή τον μικρότερο αριθμό με ορισμένα χαρακτηριστικά. Ας δούμε τους βασικούς κανόνες.

Πρόσεξε γιατί ο μικρότερος δεν αρχίζει από 0: αν γράφαμε 010.000, αυτός δεν θα ήταν εξαψήφιος αλλά πενταψήφιος, δηλαδή απλώς ο 10.000.

Και με άρτιους ή περιττούς;

Οι άρτιοι αριθμοί τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 ή 8. Οι περιττοί τελειώνουν σε 1, 3, 5, 7 ή 9.

Όταν μας ζητούν τον μεγαλύτερο άρτιο ή τον μικρότερο περιττό, ακολουθούμε τον ίδιο κανόνα, φροντίζοντας όμως το τελευταίο ψηφίο:

Παρατήρησε το μοτίβο: στον μεγαλύτερο άρτιο βάζουμε παντού 9 και στο τέλος 8, γιατί το 9 είναι περιττό. Στον μικρότερο περιττό βάζουμε 1 μπροστά, μηδενικά στη μέση και 1 στο τέλος, γιατί το 0 είναι άρτιο.