Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα 🧩
Ένα μαθηματικό πρόβλημα δεν λύνεται με μαντεψιά. Λύνεται με σχέδιο. Υπάρχουν πέντε βήματα που, αν τα ακολουθείς κάθε φορά, σε βγάζουν από κάθε δύσκολη κατάσταση.
Τα πέντε βήματα 🪜
| Βήμα | Τι κάνουμε |
|---|---|
| 1. Διαβάζουμε και διακρίνουμε | Τι προσπαθούμε να βρούμε; Τι γνωρίζουμε; |
| 2. Σχεδιάζουμε | Ποια στρατηγική και ποιο εργαλείο θα χρησιμοποιήσουμε; |
| 3. Λύνουμε | Με ποιες μαθηματικές πράξεις βρίσκουμε αυτό που ζητάμε; |
| 4. Απαντάμε | Γράφουμε πλήρη απάντηση στην ερώτηση του προβλήματος |
| 5. Αναστοχαζόμαστε | Βγάζει νόημα το αποτέλεσμα; Είναι σωστές οι πράξεις; |
Το πιο συχνό λάθος είναι να αρπάζουμε τους αριθμούς του προβλήματος και να τους προσθέτουμε ή να τους πολλαπλασιάζουμε στην τύχη. Πρώτα καταλαβαίνουμε τι ζητάει το πρόβλημα. Οι πράξεις έρχονται μετά.
Βήμα 1: Διαβάζουμε και διακρίνουμε 👀
Διαβάζουμε το πρόβλημα δύο φορές, αργά. Στη δεύτερη ανάγνωση χωρίζουμε τα λόγια σε δύο στήλες:
- Τι ζητάμε (το ζητούμενο): αυτό ακριβώς που ρωτάει η ερώτηση.
- Τι γνωρίζουμε (τα δεδομένα): όλα τα νούμερα και οι πληροφορίες που μας δίνει.
Τα δεδομένα τα υπογραμμίζουμε στο κείμενο. Το ζητούμενο το κυκλώνουμε.
Βήμα 2: Σχεδιάζουμε τη λύση 🗺️
Τώρα αποφασίζουμε πώς θα το λύσουμε. Έχουμε στη διάθεσή μας στρατηγικές και εργαλεία.
| Στρατηγικές | Εργαλεία |
|---|---|
| Παρουσιάζω το πρόβλημα | ζωγραφιά |
| Δοκιμάζω, ελέγχω, αναθεωρώ | πίνακας |
| Αναζητώ ένα μοτίβο | κατάλογος |
| Επιχειρηματολογώ | διάγραμμα |
| Εργάζομαι αντίστροφα | θεατρικό παιχνίδι |
| Λύνω ένα πιο απλό πρόβλημα | αντικείμενο |
Δεν υπάρχει μία σωστή στρατηγική. Άλλος θα κάνει ζωγραφιά, άλλος θα φτιάξει πίνακα, άλλος θα το παίξει με μπάλες. Όλοι φτάνουν στη σωστή απάντηση.
Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί με σχέδιο σε τετραγωνισμένο χαρτί ή με πράξεις. Και οι δύο δρόμοι είναι σωστοί. Οι μαθηματικοί συχνά λύνουν το ίδιο πρόβλημα με πολλούς τρόπους, για να είναι σίγουροι για την απάντηση.
Βήμα 3: Λύνουμε το πρόβλημα ✏️
Μετατρέπουμε αυτά που γνωρίζουμε σε πράξεις. Γράφουμε κάθε πράξη ξεχωριστά, με μια μικρή εξήγηση δίπλα, ώστε να φαίνεται τι υπολογίζει.
Βήμα 4: Απαντάμε στο πρόβλημα 💬
Η απάντηση είναι ολόκληρη πρόταση, όχι σκέτος αριθμός.
Αν γράψεις μόνο «80 και 40», κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι αναφέρονται. Μπάλες; Ευρώ; Παιδιά; Και ποιο νούμερο πάει με τι; Η σωστή απάντηση λέει τον αριθμό, τη μονάδα και το τι μετράει.
Βήμα 5: Αναστοχαζόμαστε 🤔
Πριν κλείσεις το τετράδιο, κάνε τρεις ερωτήσεις στον εαυτό σου:
- Βγάζει νόημα το αποτέλεσμα; Αν ρωτάει πόσα παιδιά και σου βγήκε 3,5, κάτι πήγε στραβά.
- Επαληθεύεται; Βάλε την απάντησή σου πίσω στο πρόβλημα και δες αν βγαίνουν τα δεδομένα.
- Απάντησα σε αυτό που ρωτήθηκε; Πολλές φορές βρίσκουμε κάτι σωστό, αλλά όχι αυτό που ζητούσε η ερώτηση.
Λυμένο πρόβλημα: οι μπάλες ⚽
Πρόβλημα: Ένα κατάστημα αθλητικών ειδών πούλησε 200 μπάλες. Οι 80 ήταν μπάλες του μπάσκετ και οι υπόλοιπες ήταν του βόλεϊ και του ποδοσφαίρου. Οι μπάλες του βόλεϊ ήταν διπλάσιες από αυτές του ποδοσφαίρου. Πόσες μπάλες του βόλεϊ και πόσες του ποδοσφαίρου πούλησε το κατάστημα;
1. Διαβάζουμε και διακρίνουμε
| Τι ζητάμε | Τι γνωρίζουμε |
|---|---|
| Πόσες μπάλες βόλεϊ Πόσες μπάλες ποδοσφαίρου | 200 μπάλες συνολικά 80 μπάλες μπάσκετ βόλεϊ διπλάσιες από ποδοσφαίρου |
2. Σχεδιάζουμε
Διαλέγουμε τη στρατηγική παρουσιάζω το πρόβλημα, με εργαλείο τη ζωγραφιά, γιατί η λέξη «διπλάσιες» φαίνεται καθαρά σε ένα σχέδιο.
3. Λύνουμε
Βήμα α. Πόσες μπάλες δεν είναι του μπάσκετ;
Βήμα β. Αυτές οι 120 μοιράζονται σε βόλεϊ και ποδοσφαίρου. Επειδή οι μπάλες του βόλεϊ είναι διπλάσιες, σε κάθε μία μπάλα ποδοσφαίρου αντιστοιχούν δύο μπάλες βόλεϊ. Άρα κάθε παρέα έχει τρεις μπάλες: μία ποδοσφαίρου και δύο βόλεϊ.
Βήμα γ. Πόσες τέτοιες παρέες φτιάχνουμε;
Άρα οι μπάλες του ποδοσφαίρου είναι 40.
Βήμα δ. Οι μπάλες του βόλεϊ είναι διπλάσιες:
4. Απαντάμε
Το κατάστημα πούλησε 80 μπάλες του βόλεϊ και 40 μπάλες του ποδοσφαίρου.
5. Αναστοχαζόμαστε
Ελέγχουμε αν όλα κουμπώνουν:
Το σύνολο βγαίνει 200 μπάλες, όσες μας είπε το πρόβλημα. Επίσης οι 80 μπάλες βόλεϊ είναι όντως διπλάσιες από τις 40 του ποδοσφαίρου. Η απάντησή μας είναι σωστή και σαφής.
Όποτε ακούς «διπλάσιο», σκέψου τρία ίσα μερίδια: ένα για το μικρό και δύο για το μεγάλο. Αν ακούσεις «τριπλάσιο», σκέψου τέσσερα μερίδια. Το άθροισμα το μοιράζεις με τόσα και βρίσκεις αμέσως το μικρό μέγεθος.
Δεύτερο λυμένο πρόβλημα: τα τραπέζια 🎂
Πρόβλημα: Η Δανάη καλεί 23 παιδιά στο πάρτι της. Σε ένα τραπέζι κάθονται 4 παιδιά, αλλά αν ενώσουμε δύο τραπέζια κάθονται 6 παιδιά. Πόσα τραπέζια χρειάζονται;
1. Διακρίνουμε. Ζητάμε τον αριθμό των τραπεζιών. Γνωρίζουμε ότι τα παιδιά είναι 23 συν η Δανάη, ότι κάθε ζευγάρι ενωμένων τραπεζιών χωράει 6 παιδιά.
2. Σχεδιάζουμε. Θα εργαστούμε με κατάλογο, μετρώντας πόσα ζευγάρια τραπεζιών χρειάζονται.
3. Λύνουμε.
Άρα είναι 24 παιδιά συνολικά. Κάθε ζευγάρι ενωμένων τραπεζιών χωράει 6:
Χρειάζονται 4 ζευγάρια, δηλαδή:
4. Απαντάμε. Η Δανάη χρειάζεται 8 τραπέζια.
5. Αναστοχαζόμαστε. ζευγάρια και θέσεις, όσα ακριβώς και τα παιδιά. Σωστό.
Στα προβλήματα με πάρτι, εκδρομές ή παρέες, το άτομο που οργανώνει μετράει κι αυτό. Η Δανάη κάθεται στο τραπέζι μαζί με τους καλεσμένους της, γι' αυτό προσθέσαμε το 1.
Γιατί γράφουμε τη λύση και όχι μόνο την απάντηση 📝
Γράφουμε τη λύση για τρεις λόγους:
- Φαίνεται η σκέψη μας. Ο δάσκαλος και οι συμμαθητές βλέπουν πώς σκεφτήκαμε, όχι μόνο τι βρήκαμε.
- Βρίσκουμε πιο εύκολα το λάθος. Αν κάτι πήγε στραβά, με γραμμένα τα βήματα εντοπίζουμε αμέσως πού.
- Μαθαίνουμε από αυτήν. Την επόμενη φορά που θα δούμε παρόμοιο πρόβλημα, θα θυμηθούμε τη διαδρομή.
Και ένα ακόμα: η ίδια διαδικασία δουλεύει και έξω από το τετράδιο. Όταν οργανώνεις μια εκδρομή, όταν υπολογίζεις αν φτάνουν τα χρήματά σου, όταν μοιράζεσαι κάτι με φίλους — διαβάζεις την κατάσταση, βρίσκεις τι ξέρεις, φτιάχνεις σχέδιο, το εκτελείς και ελέγχεις αν πέτυχε.