Υπενθύμιση Α' μέρος: Αριθμοί και πράξεις 🔢

Πριν ξεκινήσουμε τα καινούρια, ας θυμηθούμε μαζί όσα ξέρουμε ήδη. Αριθμούς, πράξεις, κλάσματα, δεκαδικούς. Είναι τα εργαλεία μας για όλη τη χρονιά.

Πώς γράφουμε και διαβάζουμε τους αριθμούς 🧮

Όλους τους αριθμούς τους γράφουμε με δέκα μόνο σύμβολα, τα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Η θέση κάθε ψηφίου μάς λέει πόσο αξίζει. Στον αριθμό 936.248:

Ψηφίο	Θέση	Αξία
9	εκατοντάδες χιλιάδες	900.000
3	δεκάδες χιλιάδες	30.000
6	χιλιάδες (μονάδες)	6.000
2	εκατοντάδες	200
4	δεκάδες	40
8	μονάδες	8

Στα μεγάλα νούμερα βάζουμε τελεία κάθε τρία ψηφία, μετρώντας από δεξιά: 1.000.000. Έτσι διαβάζονται πιο εύκολα.

Προσοχή στην τελεία και στο κόμμα!

Η τελεία χωρίζει τις χιλιάδες: 45.700 σημαίνει σαράντα πέντε χιλιάδες επτακόσια.
Το κόμμα χωρίζει τα δέκατα: 45,7 σημαίνει σαράντα πέντε ολόκληρα και επτά δέκατα.
Δύο πολύ διαφορετικοί αριθμοί με τα ίδια ψηφία!

Προηγούμενος και επόμενος

Ο επόμενος ενός αριθμού βγαίνει αν προσθέσουμε 1. Ο προηγούμενος αν αφαιρέσουμε 1.

198.089 < 198.090 < 198.091

Μικρότερος και μεγαλύτερος με τόσα ψηφία

Ο μεγαλύτερος πενταψήφιος αριθμός είναι το 99.999. Όλα τα ψηφία του είναι 9.
Ο μικρότερος τετραψήφιος αριθμός είναι το 1.000. Ξεκινάει με 1 και μετά όλα μηδενικά.

Σύγκριση αριθμών: <, > και = ⚖️

Για να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς:

Μετράμε πόσα ψηφία έχει ο καθένας. Όποιος έχει περισσότερα ψηφία είναι μεγαλύτερος.
Αν έχουν τα ίδια ψηφία, τους συγκρίνουμε από αριστερά προς τα δεξιά, ψηφίο με ψηφίο, μέχρι να βρούμε την πρώτη διαφορά.

Παραδείγματα βήμα-βήμα:

$345.180$ και $43.854$ : ο πρώτος έχει 6 ψηφία, ο δεύτερος 5. Άρα $345.180 > 43.854$ .
$94.894$ και $98.494$ : και οι δύο πενταψήφιοι. Πρώτο ψηφίο 9 = 9. Δεύτερο ψηφίο 4 < 8. Άρα $94.894 < 98.494$ .
$890.182$ και $890.182$ : όλα τα ψηφία ίδια, άρα $890.182 = 890.182$ .

Το στοματάκι του κροκόδειλου

Το σύμβολο < και > είναι σαν ένα ανοιχτό στόμα. Το στόμα ανοίγει πάντα προς τον μεγαλύτερο αριθμό, γιατί ο πεινασμένος κροκόδειλος διαλέγει πάντα το μεγαλύτερο γεύμα!

Πρόσθεση και αφαίρεση ➕➖

Στην κάθετη πρόσθεση και αφαίρεση, το πιο σημαντικό είναι να βάζουμε μονάδες κάτω από μονάδες, δεκάδες κάτω από δεκάδες και ούτω καθεξής.

Παράδειγμα 1: $129.999 + 356.001$

Ας το κάνουμε έξυπνα. Το 129.999 είναι ένα λιγότερο από το 130.000 και το 356.001 είναι ένα παραπάνω από το 356.000. Το ένα «δανείζει» στο άλλο:

129.999 + 356.001 = 130.000 + 356.000 = 486.000

Παράδειγμα 2: $45.700 + 239.135 + 3.300$

Πρώτα ενώνουμε όσα κάνουν στρογγυλό νούμερο:

45.700 + 3.300 = 49.000

49.000 + 239.135 = 288.135

Παράδειγμα 3: $1.000.000 - 345.804$

Εδώ χρειάζεται δανεισμός σε κάθε στήλη, γιατί όλα τα ψηφία του 1.000.000 είναι μηδενικά. Το αποτέλεσμα είναι:

1.000.000 - 345.804 = 654.196

Έλεγχος: $654.196 + 345.804 = 1.000.000$ . Σωστό.

Ο σιωπηλός εχθρός: τα μηδενικά

Όταν αφαιρούμε από αριθμό με πολλά μηδενικά (π.χ. 3.600 - 1.700), πολλά παιδιά ξεχνούν τον δανεισμό. Κάνε πάντα τον έλεγχο: πρόσθεσε το αποτέλεσμα με αυτό που αφαίρεσες και πρέπει να σου βγει ο αρχικός αριθμός.

Πολλαπλασιασμός ✖️

Ο πολλαπλασιασμός είναι πρόσθεση του ίδιου αριθμού πολλές φορές. Το $4 \times 250.000$ σημαίνει «τέσσερις φορές από 250.000».

Το κόλπο με τα μηδενικά: πολλαπλασιάζουμε τα ψηφία χωρίς τα μηδενικά και μετά κολλάμε στο τέλος όλα τα μηδενικά μαζί.

150 \times 600 = (15 \times 6) \times 1.000 = 90 \times 1.000 = 90.000

Παράδειγμα κάθετου πολλαπλασιασμού: $378 \times 19$

378 \times 19 = 378 \times 20 - 378 = 7.560 - 378 = 7.182

Ο ίδιος αριθμός βγαίνει και κάθετα: $378 \times 9 = 3.402$ και $378 \times 10 = 3.780$ , άρα $3.402 + 3.780 = 7.182$ .

Πολλοί δρόμοι, ένα αποτέλεσμα

Τα 500.000 μπορούμε να τα φτιάξουμε με πολλούς τρόπους: $2 \times 250.000$ , $4 \times 125.000$ , $5 \times 100.000$ , $10 \times 50.000$ . Όσο μεγαλώνει ο ένας παράγοντας, τόσο μικραίνει ο άλλος. Το γινόμενο μένει ίδιο!

Διαίρεση ➗

Στη διαίρεση μοιράζουμε. Ο αριθμός που μοιράζουμε λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός με τον οποίο μοιράζουμε λέγεται διαιρέτης, το αποτέλεσμα λέγεται πηλίκο και ό,τι περισσεύει λέγεται υπόλοιπο.

Τέλεια διαίρεση (υπόλοιπο 0)

Δεν περισσεύει τίποτα. Μοιράστηκαν όλα.

Διαίρεση	Πηλίκο
$480.000 : 4$	120.000
$480.000 : 12$	40.000
$480.000 : 10.000$	48
$480.000 : 160$	3.000

Παρατήρησε: όσο μεγαλώνει ο διαιρέτης, τόσο μικραίνει το πηλίκο. Λογικό — αν μοιράσεις τα ίδια πράγματα σε περισσότερα παιδιά, ο καθένας παίρνει λιγότερα.

Ατελής διαίρεση (υπόλοιπο διάφορο του 0)

Κάτι περισσεύει. Στη διαίρεση $2.502 : 5$ το πηλίκο είναι 500 και το υπόλοιπο 2, γιατί:

5 \times 500 + 2 = 2.500 + 2 = 2.502

Αυτός είναι και ο έλεγχος της διαίρεσης:

διαιρέτης \times πηλίκο + υπόλοιπο = διαιρετέος

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη

Αν διαιρείς με το 5 και σου βγει υπόλοιπο 7, κάτι πήγε στραβά! Το 7 έχει άλλο ένα 5 μέσα του. Ξαναδές το πηλίκο σου.

Κλάσματα 🍕

Το κλάσμα δείχνει κομμάτια μιας ολόκληρης μονάδας. Σκέψου μια πίτσα.

Ο κάτω αριθμός (παρονομαστής) λέει σε πόσα ίσα κομμάτια κόψαμε την πίτσα.
Ο πάνω αριθμός (αριθμητής) λέει πόσα κομμάτια πήραμε.

Κλάσμα	Πώς το διαβάζουμε
$\frac{1}{2}$	ένα δεύτερο ή μισό
$\frac{1}{4}$	ένα τέταρτο
$\frac{3}{4}$	τρία τέταρτα
$\frac{5}{7}$	πέντε έβδομα
$\frac{1}{10}$	ένα δέκατο
$\frac{1}{100}$	ένα εκατοστό

Δεκαδικοί αριθμοί 💶

Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι ένας άλλος τρόπος να γράψουμε κομμάτια της μονάδας. Το κόμμα χωρίζει τα ολόκληρα από τα κομμάτια.

\frac{1}{10} = 0,1 \qquad \frac{1}{100} = 0,01 \qquad \frac{1}{1.000} = 0,001

Αριθμός	Πώς τον διαβάζουμε
0,9	εννέα δέκατα
0,12	δώδεκα εκατοστά
0,123	εκατόν είκοσι τρία χιλιοστά
1,9	ένα και εννέα δέκατα
12,306	δώδεκα και τριακόσια έξι χιλιοστά

Πράξεις με δεκαδικούς

Ο κανόνας είναι απλός: κόμμα κάτω από κόμμα. Έτσι τα δέκατα μπαίνουν κάτω από τα δέκατα.

4,8 + 1 = 5,8 \qquad 4,8 + 0,1 = 4,9 \qquad 4,8 + 0,01 = 4,81 \qquad 4,8 + 0,001 = 4,801

4,8 - 0,1 = 4,7 \qquad 4,8 - 0,01 = 4,79 \qquad 4,8 - 0,001 = 4,799

Παράδειγμα βήμα-βήμα: $100,02 - 23,65$

Γράφουμε $100,02$ και από κάτω $23,65$ με τα κόμματα στην ίδια στήλη. Χρειάζεται δανεισμός στα εκατοστά:

100,02 - 23,65 = 76,37

Έλεγχος: $76,37 + 23,65 = 100,02$ . Σωστό.

Τα μηδενικά στο τέλος δεν πειράζουν

Το 4,8 και το 4,800 είναι ο ίδιος αριθμός. Όταν προσθέτεις 4,8 + 0,001, γράψε το πρώτο ως 4,800 για να έχεις ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Θα δεις πόσο πιο εύκολο γίνεται.

Συμμιγείς αριθμοί ⏱️

Ο συμμιγής αριθμός χρησιμοποιεί δύο ή περισσότερες μονάδες μαζί. Για παράδειγμα, η ημερομηνία 12 Σεπτεμβρίου 2018 γράφεται ως 2018 έτ. 9 μήν. 12 ημ.

Πώς μετατρέπουμε έναν δεκαδικό σε συμμιγή:

Δεκαδικός	Συμμιγής	Σκέψη
1,248 μ.	1 μ. 24 εκ. 8 χιλ.	1 μέτρο και 248 χιλιοστά
3,600 κ.	3 κ. 600 γρ.	3 κιλά και 600 γραμμάρια
1,5 ώρ.	1 ώρ. 30 λεπτά	μισή ώρα είναι 30 λεπτά

Η ώρα δεν είναι δεκαδικός!

Το 1,5 ώρες ΔΕΝ είναι 1 ώρα και 50 λεπτά. Η ώρα έχει 60 λεπτά, όχι 100. Άρα μισή ώρα είναι $60 : 2 = 30$ λεπτά. Στα κιλά και στα μέτρα όμως τα πράγματα πάνε ανά δέκα, οπότε εκεί η μετατροπή είναι πιο άμεση.

Η αριθμογραμμή 📏

Η αριθμογραμμή είναι μια ευθεία με τους αριθμούς βαλμένους στη σειρά. Όσο πηγαίνουμε δεξιά, τόσο μεγαλώνουν οι αριθμοί.

Για να συμπληρώσουμε τα κενά:

Βρίσκουμε το βήμα: πόσο αυξάνεται ο αριθμός από τη μια γραμμούλα στην επόμενη.
Προσθέτουμε αυτό το βήμα κάθε φορά.

Παράδειγμα: αν η αριθμογραμμή δείχνει 0 και μετά 0,5, το βήμα είναι 0,5. Άρα συνεχίζει με 1, μετά 1,5, μετά 2.

Και τα κλάσματα έχουν θέση!

Πάνω στην ίδια αριθμογραμμή χωράνε φυσικοί, κλάσματα και δεκαδικοί. Το $\frac{1}{2}$ , το 0,5 και το «μισό» κάθονται ακριβώς στο ίδιο σημείο — γιατί είναι ο ίδιος αριθμός με τρία ονόματα.