Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες 📐

Στον φυσικό μας κόσμο, εκτός από τα γεωμετρικά σχήματα που είναι επίπεδα, συναντάμε και γεωμετρικά στερεά. Αυτά είναι σχήματα που έχουν τρεις διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος) και περιλαμβάνουν τα εξής:

• Κύβος: Σαν ένα ζάρι 🎲, όλες οι πλευρές του είναι τετράγωνα.
• Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: Σαν ένα κουτί 🟦, όπου οι πλευρές του είναι ορθογώνια.
• Κύλινδρος: Σαν ένα κουτί Pringles 🥫, με δύο κυκλικές βάσεις.
• Κώνος: Σαν ένα χωνάκι παγωτό 🍦, με μια κυκλική βάση και μια μυτερή κορυφή.
• Πυραμίδα: Σαν τις πυραμίδες της Αιγύπτου 🏜️, με μια βάση και τριγωνικές πλευρές.
• Σφαίρα: Σαν μια μπάλα ποδοσφαίρου ⚽, στρογγυλή από όλες τις πλευρές.

Έδρες

Ορισμένα γεωμετρικά στερεά έχουν επίπεδες πολύγωνικές επιφάνειες, οι οποίες ονομάζονται έδρες. Για παράδειγμα, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει 6 έδρες, όλες ορθογώνιες.

Όγκος

Ο όγκος ενός στερεού σώματος είναι ο χώρος που καταλαμβάνει το στερεό. Αυτός ο χώρος μετριέται σε κυβικές μονάδες 📦.

• Ο όγκος εκφράζεται με τον αριθμό των κυβικών μονάδων που χωράνε μέσα στο στερεό. Η κυβική μονάδα είναι ο όγκος ενός κύβου με μήκος ακμής μία μονάδα.

Για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός στερεού, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε το μήκος, το πλάτος και το ύψος του.

Παραδείγματα:

• Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις 5, 4 και 3 κυβικές μονάδες:

  • Όγκος = 5 × 4 × 3 = 60 κυβικές μονάδες.

• Για έναν κύβο με διαστάσεις 3 × 3 × 3:

  • Όγκος = 3 × 3 × 3 = 27 κυβικές μονάδες.

Τι είναι μια Κυβική Μονάδα;

Μια κυβική μονάδα είναι ο όγκος ενός κύβου με ακμή 1 μονάδα. Φανταστείτε ένα μικρό τετράγωνο κουτί 🎁 με πλευρές μήκους 1 εκατοστού, 1 μέτρου ή οποιασδήποτε άλλης μονάδας μέτρησης. Αυτός ο μικρός κύβος είναι η μονάδα μας για τον υπολογισμό του όγκου.

Σημείωση: Αν έχετε ένα γεωμετρικό στερεό με όγκο 10 κυβικές μονάδες, αυτό σημαίνει ότι το στερεό μπορεί να γεμίσει με 10 τέτοιους μικρούς κύβους.

---

Διερεύνηση 🔍

Αναγνωρίζουμε τα γεωμετρικά σχήματα σε κάθε εικόνα:

1. 6 τετράγωνα
2. 6 ορθογώνια παραλληλόγραμμα
3. 1 τετράγωνο, 4 τρίγωνα
4. 1 ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, 2 κύκλοι

---

Συζήτηση 💬

Ποια γεωμετρικά στερεά μπορούμε να σχηματίσουμε με τα παραπάνω αναπτύγματα;

Με τα παραπάνω αναπτύγματα σχηματίζουμε τα εξής γεωμετρικά στερεά:

1. Κύβος
2. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
3. Τετραγωνική πυραμίδα
4. Κύλινδρος

Αναγνωρίζουμε τα παρακάτω γεωμετρικά στερεά και τη σχέση που έχουν με τα χρωματισμένα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα:

Τα χρωματισμένα επίπεδα σχήματα αποτελούν τις βάσεις των γεωμετρικών στερεών.

• Κύβος
• Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
• Κύλινδρος
• Κώνος
• Πενταγωνική πυραμίδα

---

Συζήτηση σε τι διαφέρουν τα στερεά από τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα 💬

Τα στερεά γεωμετρικά σχήματα έχουν 3 διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος) και μπορούμε να τα πιάσουμε! ✋

Τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα έχουν 2 διαστάσεις (μήκος, πλάτος).

---

Συζήτηση 💬

Ποιο γεωμετρικό στερεό μπορούμε να αναγνωρίσουμε στο μπαούλο της παρακάτω εικόνας;

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο 🧳

Ποια από τα παραπάνω γεωμετρικά στερεά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, για να μετρήσουμε τον χώρο μέσα στο μπαούλο;

• Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και τον κύβο.

Συζήτηση πώς μπορούμε να μετρήσουμε τον χώρο μέσα στο μπαούλο;

Μπορούμε να προσθέσουμε μέσα στο μπαούλο κυβικές μονάδες 📦 (δηλαδή κύβους με μήκος πλευράς ορθογωνίου 1 μονάδα) μέχρι να γεμίσει, και ύστερα να μετρήσουμε πόσες χρησιμοποιήσαμε.

---

Εφαρμογή 📝

Να υπολογίσετε πόσες κυβικές μονάδες είναι ο όγκος του παρακάτω γεωμετρικού στερεού.

Το γεωμετρικό στερεό Α μπορεί να αναλυθεί στα γεωμετρικά στερεά: Β, Γ και Δ.
Ο όγκος του γεωμετρικού στερεού είναι:

📦

---

Αναστοχασμός 🎯

1. Αναφέρουμε γεωμετρικά στερεά που η μία τουλάχιστον έδρα τους είναι:

   α. Τετράγωνο

   • Μια έδρα τετράγωνο έχουν ο κύβος και η τετραγωνική πυραμίδα.

   β. Κυκλικός δίσκος

   • Μια έδρα κυκλικό δίσκο έχουν ο κύλινδρος και ο κώνος.

2. Η Δανάη υποστηρίζει ότι το ανάπτυγμα του ορθογωνίου αποτελείται από τρία ζευγάρια ίσων ορθογωνίων. Έχει δίκιο;

   • Ναι, η Δανάη έχει δίκιο. ✔️

3. Εξηγούμε γιατί δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σφαίρα για τη μέτρηση του όγκου ενός στερεού σώματος.

   • Γιατί χρησιμοποιώντας τη σφαίρα, θα αφήνουμε κενά στο χώρο που θέλουμε να μετρήσουμε, καθώς αυτή δεν έχει επίπεδες επιφάνειες.