Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες ✏️

Το ίσον (=)

Το ίσον είναι το σύμβολο της ισότητας και δείχνει πως ό,τι βρίσκεται αριστερά του έχει την ίδια αξία (ή τιμή) με αυτό που βρίσκεται δεξιά του.

Παραδείγματα:

• 5 = 2 × 2,5
• 10 + 2 = 4 × 3

Το μεγαλύτερο (>) και το μικρότερο (<)

Το μεγαλύτερο (>) και το μικρότερο (<) είναι τα σύμβολα της ανισότητας και δείχνουν πως ό,τι βρίσκεται αριστερά τους είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, αντίστοιχα, από ό,τι βρίσκεται δεξιά τους.

Παραδείγματα:

• 5 < 2 × 3,5
• 4 + 5 > 6 + 2/5

🧠 Λίγα λόγια παραπάνω:

• Το σύμβολο "=" μας λέει ότι οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης έχουν την ίδια αξία.
• Τα σύμβολα ">" και "<" μας βοηθούν να καταλάβουμε ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος σε μια σύγκριση.

📚 Πρακτική με παραδείγματα:

1. Ανίσωση: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

   • 7 > 3 ✔️
   • 5 < 9 ✔️

2. Ισότητα: Τι αξία έχει το κενό κουτάκι (□);

   • 3 + 4 = □ (Απάντηση: 7) ✔️

Δοκιμάστε να φτιάξετε τις δικές σας εξισώσεις και ανισώσεις! 🚀

Διερεύνηση 🔍

1. Παρατηρούμε τα στερεά στις παρακάτω ζυγαριές. Οι δύο ζυγαριές ισορροπούν ⚖️.

α. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Α. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύβος 🟨 ή η σφαίρα 🔴; Εξηγούμε την απάντησή μας.

Κοιτάμε προσεκτικά τη ζυγαριά Α. Βλέπουμε ότι 2 κύβοι ισορροπούν με 3 σφαίρες. Αυτό σημαίνει ότι ένας κύβος ζυγίζει όσο μιάμιση σφαίρα! Άρα, ο κύβος ζυγίζει περισσότερο από τη σφαίρα! 🎉

β. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Β. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύλινδρος 🟩 ή η σφαίρα 🔴; Εξηγούμε την απάντησή μας.

Κοιτάμε τη ζυγαριά Β. Βλέπουμε ότι 4 σφαίρες ισορροπούν με 2 κυλίνδρους και 2 σφαίρες. Αν αφαιρέσουμε τις 2 σφαίρες από τη ζυγαριά, τότε οι 2 κυλίνδροι ισορροπούν με 2 σφαίρες. Αυτό σημαίνει ότι ένας κύλινδρος ζυγίζει όσο μία σφαίρα! Άρα, ο κύλινδρος και η σφαίρα ζυγίζουν το ίδιο! ⚖️

γ. Πόσο ζυγίζει το κάθε στερεό, αν ο κύλινδρος ζυγίζει 200 γραμμάρια 🟩 = 200 γρ.;

Ας δούμε πόσο ζυγίζει το κάθε στερεό:

• Ο κύλινδρος 🟩 ζυγίζει 200 γρ.
• Κάθε σφαίρα 🔴 ζυγίζει 100 γρ. (αφού 1 κύλινδρος ζυγίζει όσο 2 σφαίρες)
• Κάθε κύβος 🟨 ζυγίζει 150 γρ. (αφού 1 κύβος ζυγίζει όσο 1,5 σφαίρα)

2. Παρατηρούμε την παρακάτω ζυγαριά. ⚖️

α. Τοποθετούμε το κατάλληλο σύμβολο <, > ή = στην παρακάτω σχέση, για να δηλώσουμε ποια στερεά ζυγίζουν περισσότερο.

Βλέπουμε ότι 1 κύλινδρος 🟩 και 2 σφαίρες 🔴 ζυγίζουν περισσότερο από 4 σφαίρες 🔴. Άρα βάζουμε το σύμβολο >! 🎯

β. Ποια και πόσα στερεά χρειάζεται να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε, ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει;

Μπορούμε να κάνουμε δύο πράγματα:

• Α' τρόπος: Προσθέτουμε 2 σφαίρες στην αριστερή πλευρά της ζυγαριάς για να ισορροπήσει! ⚖️
• Β' τρόπος: Προσθέτουμε 4 σφαίρες στην αριστερή πλευρά για να ισορροπήσει με την άλλη πλευρά της ζυγαριάς! ⚖️

Εφαρμογή 📚

1. Να συμπληρώσετε με τον κατάλληλο αριθμό το κουτάκι στην ισότητα 12 + ☐ = 4 × 5

Στην ισότητα, ό,τι βρίσκεται αριστερά από το ίσον πρέπει να έχει την ίδια αξία (τιμή) με ό,τι βρίσκεται δεξιά του.

• Δεξιά από το ίσον έχουμε:
• Άρα, Αριστερά από το ίσον έχουμε: ☐
• Άρα το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι 8.

2. Να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των πράξεων και να συμπληρώσετε τα κουτάκια με τους κατάλληλους αριθμούς. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε.

α. Αν 7 + 8 = 20 - 5, τότε ☐ = 7 + 8.

• Η ισότητα δεν αλλάζει αν αντιστρέψουμε τα μέρη της.
• Άρα, το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι 15.

β. Αν 11 + 6 = 29 - 12 και 29 - 12 = 4 + 13, τότε 11 + 6 = 4 + ☐.

• Αν έχουμε την ισότητα α=β (όπου α = 11+6 και β = 29-12) και β = γ (όπου γ = 4+13), τότε ισχύει ότι α=β=γ.
• Άρα το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι 13.

γ. (5+7) + ☐ = 5 + (7 + 4)

• Σε αυτή την ισότητα με προσθέσεις, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των αριθμών μέσα στην παρένθεση. Η πρόσθεση δεν αλλάζει.
• Άρα το σωστό νούμερο για το κουτάκι είναι 4.

3. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς με τους οποίους μπορείτε να συμπληρώσετε το κουτάκι στην ανισότητα 9 + ☐ < 23 - 7. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε.

• Το δεύτερο μέρος της ανισότητας κάνει .
• Επομένως .
• Άρα μπορούμε να συμπληρώσουμε το κουτάκι με έναν από τους αριθμούς: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Αναστοχασμός 🧠

1. Ο Νίκος, για να προσθέσει , έγραψε: , , . Αν και βρήκε το σωστό αποτέλεσμα, ποιο είναι το λάθος που έχει κάνει; Εξηγούμε πώς σκέφτηκε.

Ο Νίκος έκανε την πρόσθεση σωστά, αλλά δεν ξανάγραψε τα 3+1 και δεν τα υπολόγισε στην αρχή. Έτσι, έχασε την πρόσθεση των υπόλοιπων αριθμών που δεν είχε υπολογίσει.

2. Γράφουμε αριθμούς με τους οποίους μπορούμε να συμπληρώσουμε το κουτάκι στην ανισότητα ☐ . Εξηγούμε τη σκέψη μας.

Για να είναι σωστή η ανισότητα, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 10. Άρα μπορούμε να συμπληρώσουμε το κουτάκι με αριθμούς μεγαλύτερους του 4, όπως 5, 6, 7 κλπ. 🎯