Βιβλίο και Λύσεις

🎲 Βασικές Μαθηματικές Έννοιες και Διαδικασίες

Τύχη και Πιθανότητες 🎯

Τύχη και Πειράματα 🧪

Ένα πείραμα που δεν μπορούμε να προβλέψουμε τι θα γίνει, το λέμε πείραμα τύχης. Αυτό σημαίνει ότι δεν ξέρουμε σίγουρα τι θα συμβεί.

Πιθανότητα 📊

Όταν λέμε πιθανότητα, εννοούμε πόσες πιθανότητες έχουμε να συμβεί κάτι συγκεκριμένο. Μπορούμε να το υπολογίσουμε με αυτόν τον τρόπο:

Παράδειγμα:
Αν ρίξουμε ένα ζάρι 🎲, το πόσο πιθανό είναι να έρθει ο αριθμός 3, μπορούμε να το βρούμε έτσι:

Σίγουρο ή Αδύνατο; 🤷‍♂️

Η πιθανότητα να συμβεί κάτι μπορεί να είναι:

• Σίγουρη: Θα γίνει σίγουρα! 🌟
• Αδύνατη: Δεν πρόκειται να γίνει! 🚫

Κάποιες φορές, όμως, μπορεί να είναι πιθανό να συμβεί ή να μη συμβεί, ανάλογα με την τύχη! 🎲

Παραδείγματα και Εξηγήσεις 💡

Ρίχνοντας το Ζάρι 🎲

Αν ρίξουμε ένα ζάρι 1000 φορές, μπορούμε να προβλέψουμε πόσες φορές θα έρθει κάθε αριθμός.

• Πιθανότητα για το 3:
  • Το ζάρι έχει 6 πλευρές (1, 2, 3, 4, 5, 6).
  • Η πιθανότητα να έρθει το 3 είναι:

Αν ρίξουμε το ζάρι πολλές φορές, π.χ. 1000 φορές, περιμένουμε ότι ο αριθμός 3 θα έρθει περίπου 1 στις 6 φορές.

Όλα τα Δυνατά Αποτελέσματα 🌐

• Το ζάρι έχει 6 πιθανές πλευρές: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Η πιθανότητα να έρθει κάθε πλευρά είναι ίση:

Άρα, αν ρίξουμε το ζάρι πολλές φορές, αναμένουμε κάθε αριθμός να εμφανιστεί περίπου 1 στις 6 φορές.

---

Σημείωση:
Η πιθανότητα μάς βοηθάει να καταλάβουμε πόσο πιθανό είναι να συμβεί κάτι, αλλά δεν μας λέει σίγουρα τι θα συμβεί! 🎲

---

Διερεύνηση 🎲

Παίζουμε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζει μόνο όποιος φέρει στον διπλανό τροχό το χρώμα που έχει επιλέξει. Ποιο χρώμα θα διάλεγες για εσένα;

α. Κάνουμε προβλέψεις για το πείραμα τύχης.

📢 Συζητάμε πόσο πιθανό είναι να έρθει καθένα από τα χρώματα, αν περιστρέψουμε τον τροχό.

• Το κίτρινο μπορεί να έρθει 4 στις 8 φορές.
• Το κόκκινο μπορεί να έρθει 2 στις 8 φορές.
• Το πράσινο μπορεί να έρθει 1 στις 8 φορές.
• Το μπλε μπορεί να έρθει 1 στις 8 φορές.

β. Κάνουμε το πείραμα τύχης.

Χωριζόμαστε σε ομάδες και χρησιμοποιούμε τον τροχό από το παράρτημα. Περιστρέφουμε τον τροχό 20 φορές και καταγράφουμε τα αποτελέσματά μας.

1. Παρατηρούμε τη συχνότητα εμφάνισης κάθε χρώματος. Ποιο χρώμα είναι πιο πιθανό να εμφανίζεται κάθε φορά;

   • Το κίτρινο χρώμα, γιατί έχει 4 κίτρινα κομμάτια, περισσότερα από κάθε άλλο χρώμα.

📊 Αποτελέσματα της ομάδας μου:

• Πράσινο: 4 φορές
• Κίτρινο: 10 φορές
• Μπλε: 1 φορά
• Κόκκινο: 5 φορές

🔍 Το βέλος μπορεί να σταματήσει σε καθένα από τα 8 ίσα μέρη. Το κίτρινο χρώμα είναι στα 4 από αυτά. Το μπλε είναι μόνο σε 1 από τα 8 ίσα μέρη.

2. Πόσες φορές αναμένουμε να εμφανιστεί κόκκινο χρώμα σε 8 περιστροφές του τροχού;

Αναμένουμε να εμφανιστεί 2 φορές. Για το κόκκινο χρώμα, οι πιθανότητες είναι 2 στις 8.

3. Πόσες φορές αναμένουμε να εμφανιστεί πράσινο χρώμα σε 8 περιστροφές του τροχού;

Αναμένουμε να εμφανιστεί 1 φορά, γιατί οι πιθανότητες να εμφανιστεί πράσινο χρώμα σε κάθε περιστροφή είναι 1 στις 8.

γ. Γράφουμε με κλάσμα την πιθανότητα εμφάνισης κάθε χρώματος, όταν περιστρέφουμε τον τροχό.

• Πιθανότητα να έρθει: κίτρινο = , κόκκινο = , μπλε = , πράσινο =

δ. Τοποθετούμε τα κλάσματα στην παρακάτω κλίμακα.

Συγκρίνουμε τις πιθανότητες που υπολογίσαμε, με τον τρόπο αυτό, με τις αρχικές μας προβλέψεις.

Οι πιθανότητες που υπολογίσαμε συμπίπτουν με τις αρχικές μας προβλέψεις.

---

Αναστοχασμός 🤔

1. Ο Νίκος ισχυρίζεται ότι σε ένα παιχνίδι τύχης με αριθμούς από το 1 έως το 20, το 17 είναι πιο πιθανό να εμφανιστεί, επειδή είναι ο τυχερός του αριθμός. Έχει δίκιο;

   Όχι, δεν έχει δίκιο, γιατί οι πιθανότητες να έρθει κάθε ένας αριθμός στο παιχνίδι αυτό είναι 1 στις 20.

2. Ρίχνουμε ένα ζάρι 10.000 φορές. Πόσες περίπου φορές θα έρθει ο αριθμός 2;

   Οι πιθανότητες να φέρουμε 2 ρίχνοντας μια φορά είναι 1 στις 6. Οι πιθανότητες να φέρουμε 2 ρίχνοντας το ζάρι 10.000 φορές είναι: