📚 Βασικές Μαθηματικές Έννοιες και Διεργασίες

🧩 Ισοδύναμα Κλάσματα

• Ορισμός: Τα κλάσματα που εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός όλου λέγονται ισοδύναμα ή ίσα.
• Παράδειγμα:

✖️ Πολλαπλασιασμός Κλάσματος

• Ορισμός: Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό.
• Παράδειγμα:

✂️ Απλοποίηση Κλάσματος

• Ορισμός: Αν διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό, με μικρότερους όρους. Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση.
• Παράδειγμα:

🚫 Ανάγωγα Κλάσματα

• Ορισμός: Τα κλάσματα που οι όροι τους δεν απλοποιούνται λέγονται ανάγωγα.
• Παράδειγμα:

Διερεύνηση 🔍

1. Οι μαθητές και οι μαθήτριες της Ε' τάξης κάνουν συλλογή από γραμματόσημα. Παρατηρούμε την παρακάτω σελίδα:

   • Μαθητής 1: "Έχω γεμίσει με γραμματόσημα τα της σελίδας."
   • Μαθητής 2: "Έχεις γεμίσει τα της σελίδας."

   Συζητάμε ποιο παιδί έχει δίκιο. 💬

   Και τα δύο παιδιά έχουν δίκιο! 🎉

2. Διπλώνουμε ξανά την ίδια σελίδα και χρωματίζουμε τα αυτής. 🖍️

   Συγκρίνουμε τα δύο κλάσματα 📏:

   Τα δύο κλάσματα εκφράζουν το ίδιο μέρος της σελίδας! 📄

   Πώς προκύπτουν οι όροι του κλάσματος από τους όρους του κλάσματος ;

Διερεύνηση 2 🔍

2. Εκφράζουμε το κλάσμα με κλάσματα που έχουν μικρότερους όρους χρησιμοποιώντας τις ράβδους κλασμάτων του παραρτήματος.

   Πώς προκύπτουν οι όροι των κλασμάτων που βρήκαμε από τους όρους του ;

   Ποιο κλάσμα έχει τους μικρότερους όρους;

Εφαρμογή 📐

1. Ο λαγός και η χελώνα τρέχουν την ίδια διαδρομή. Ο λαγός έχει διανύσει τα της διαδρομής και η χελώνα τα της. Να τοποθετήσετε τα δύο κλάσματα πάνω στην αριθμογραμμή. Τι παρατηρείτε;

   Τοποθετούμε τα κλάσματα στην αριθμογραμμή, την οποία χωρίζουμε κάθε φορά κατάλληλα.

   Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα βρίσκονται στο... ίδιο σημείο της αριθμογραμμής! 😊

   Επαλήθευση:

   • Απλοποιούμε το κλάσμα ώστε να γίνει ανάγωγο:

   Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα και είναι ισοδύναμα. ✅

2. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των κλασμάτων και .

   Βρίσκουμε για καθένα από τα παραπάνω κλάσματα ένα ισοδύναμό του:

   Ανάμεσα στα κλάσματα και που δημιουργήσαμε, βρίσκεται το κλάσμα .

Αναστοχασμός 🎯

1. Πόσα ισοδύναμα κλάσματα έχει κάθε κλάσμα;

   • Άπειρα ισοδύναμα κλάσματα έχει κάθε κλάσμα, γιατί ο αριθμητής και ο παρονομαστής του έχουν άπειρα πολλαπλάσια. 💡

2. Ισοδύναμα κλάσματα του διαίροντας τους όρους του είναι: