Ο όγκος του κυλίνδρου 🥫

Φαντάσου ένα κουτί γάλακτος και ένα ποτήρι δίπλα δίπλα. Το ένα είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, το άλλο κύλινδρος. Και τα δύο έχουν ύψος, και τα δύο μπορούν να γεμίσουν με υγρό. Πώς όμως υπολογίζουμε πόσο χωράει το καθένα; Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε τον όγκο ενός κυλίνδρου.

Από το παραλληλεπίπεδο στον κύλινδρο 📦

Ξέρουμε ήδη πώς βρίσκουμε τον όγκο ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου: πολλαπλασιάζουμε τις τρεις διαστάσεις του.

Ο_{\text{παραλληλεπιπέδου}} = α \cdot β \cdot γ

Αν το σκεφτούμε λίγο διαφορετικά, αυτό σημαίνει: πρώτα βρίσκουμε το εμβαδόν της βάσης (δηλαδή $α \cdot β$ ), και μετά το πολλαπλασιάζουμε επί το ύψος $γ$ . Η βάση «απλώνεται» προς τα πάνω, στρώμα-στρώμα, μέχρι να φτάσει το ύψος του στερεού, και έτσι γεμίζει όλο τον χώρο του.

Η ίδια ακριβώς ιδέα ισχύει και για τον κύλινδρο! Η βάση του δεν είναι ορθογώνιο, είναι κύκλος. Αλλά η λογική είναι ίδια: βρίσκουμε το εμβαδόν της κυκλικής βάσης και το πολλαπλασιάζουμε επί το ύψος του κυλίνδρου.

Ίδια ιδέα, διαφορετικό σχήμα

Κάθε φορά που ένα στερεό σώμα έχει την ίδια βάση σε όλο του το ύψος (δηλαδή δεν στενεύει ή φαρδαίνει), ο όγκος του βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο: εμβαδόν βάσης επί ύψος. Αυτό ισχύει είτε η βάση είναι τετράγωνο, ορθογώνιο, τρίγωνο είτε κύκλος!

Ο τύπος του όγκου του κυλίνδρου 📐

Θυμόμαστε ότι το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου με ακτίνα $α$ υπολογίζεται με τον τύπο:

Ε_{\text{κύκλου}} = π \cdot α^2

Για να βρούμε λοιπόν τον όγκο του κυλίνδρου, πολλαπλασιάζουμε αυτό το εμβαδόν επί το ύψος $υ$ του κυλίνδρου:

Ο_{\text{κυλίνδρου}} = π \cdot α^2 \cdot υ

όπου:

$α$ είναι η ακτίνα της κυκλικής βάσης,
$υ$ είναι το ύψος του κυλίνδρου,
$π$ είναι ο γνωστός μας αριθμός, που στους υπολογισμούς μας παίρνει την τιμή $3,14$ .

Πρόσεξε: ακτίνα, όχι διάμετρος!

Ο τύπος θέλει την ακτίνα $α$ , όχι τη διάμετρο $δ$ . Αν στο πρόβλημα σου δίνουν τη διάμετρο, θυμήσου πρώτα να τη διαιρέσεις διά 2 για να βρεις την ακτίνα, και μετά να την υψώσεις στο τετράγωνο. Πολλά λάθη γίνονται ακριβώς εδώ!

Ένα παράδειγμα βήμα-βήμα 🧮

Ας υπολογίσουμε τον όγκο ενός κυλίνδρου με ακτίνα βάσης $α = 3$ εκ. και ύψος $υ = 12$ εκ.

Βήμα 1ο: Υψώνουμε την ακτίνα στο τετράγωνο.

α^2 = 3^2 = 9

Βήμα 2ο: Πολλαπλασιάζουμε με το $π$ .

π \cdot α^2 = 3,14 \cdot 9 = 28,26

Αυτό είναι το εμβαδόν της κυκλικής βάσης, σε τετραγωνικά εκατοστά.

Βήμα 3ο: Πολλαπλασιάζουμε με το ύψος.

Ο = 28,26 \cdot 12 = 339,12 \text{ κ.εκ.}

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι $339,12$ κυβικά εκατοστά.

Πότε χρησιμοποιούμε αυτόν τον τύπο; 🌍

Ο τύπος του όγκου του κυλίνδρου είναι πολύ χρήσιμος σε καθημερινές καταστάσεις: για να υπολογίσουμε πόσο νερό χωράει μια δεξαμενή, πόσο σιτάρι χωράει ένα σιλό, πόσο χώμα υπάρχει σε μια κυλινδρική σήραγγα ή πόσο χωράει ένα ποτήρι.

Πολλές φορές, ένα πρόβλημα μας ζητά να συγκρίνουμε τον όγκο ενός κυλίνδρου με τον όγκο ενός παραλληλεπιπέδου, ή να βρούμε πόσος όγκος μένει όταν αφαιρέσουμε έναν κύλινδρο από ένα μεγαλύτερο στερεό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, υπολογίζουμε κάθε όγκο ξεχωριστά με τον δικό του τύπο, και μετά συγκρίνουμε ή αφαιρούμε τα αποτελέσματα.

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε πόσος όγκος μένει σε έναν χώρο αφού αφαιρέσουμε από αυτόν έναν κυλινδρικό αγωγό, δουλεύουμε ως εξής:

Ο_{\text{υπόλοιπο}} = Ο_{\text{μεγάλου στερεού}} - Ο_{\text{κυλίνδρου}}

Μονάδες μέτρησης: μη μπερδεύεσαι

Όταν οι διαστάσεις είναι σε εκατοστά, ο όγκος βγαίνει σε κυβικά εκατοστά (κ.εκ.). Όταν είναι σε μέτρα, ο όγκος βγαίνει σε κυβικά μέτρα (κ.μ.). Θυμήσου επίσης ότι $1$ κ.δεκατόμετρο (κ.δμ.) ισοδυναμεί με $1$ λίτρο, κάτι πολύ χρήσιμο όταν μιλάμε για χωρητικότητα δοχείων.

Τι κρατάμε 🎯

Ο όγκος του κυλίνδρου βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως κάθε στερεό με σταθερή βάση: εμβαδόν βάσης επί ύψος.
Ο τύπος είναι $Ο_{\text{κυλίνδρου}} = π \cdot α^2 \cdot υ$ , όπου $α$ η ακτίνα της βάσης και $υ$ το ύψος.
Πρώτα υψώνουμε την ακτίνα στο τετράγωνο, μετά πολλαπλασιάζουμε με το $π$ ( $=3,14$ ) και τέλος με το ύψος.
Αν δίνεται η διάμετρος, πρέπει πρώτα να τη διαιρέσουμε διά 2 για να βρούμε την ακτίνα.
Σε προβλήματα σύγκρισης ή αφαίρεσης όγκων, υπολογίζουμε κάθε όγκο ξεχωριστά και μετά συνδυάζουμε τα αποτελέσματα.