Όγκος Κύβου και Ορθογωνίου Παραλληλεπιπέδου 📦

Μέχρι τώρα μετρούσαμε μήκη (σε εκατοστά ή μέτρα) και εμβαδά επίπεδων σχημάτων (σε τετραγωνικά εκατοστά ή τετραγωνικά μέτρα). Τώρα θα μάθουμε να μετράμε κάτι διαφορετικό: πόσο χώρο καταλαμβάνει ένα στερεό σώμα, δηλαδή τον όγκο του.

Η μονάδα μέτρησης του όγκου 🧊

Για να μετρήσουμε μήκος χρησιμοποιούμε το μέτρο, για να μετρήσουμε εμβαδό χρησιμοποιούμε το τετραγωνικό μέτρο. Για να μετρήσουμε όγκο χρησιμοποιούμε το κυβικό μέτρο (κ.μ.): έναν κύβο που η ακμή του έχει μήκος 1 μέτρο.

Για μικρότερα αντικείμενα χρησιμοποιούμε μικρότερες μονάδες, όπως το κυβικό δεκατόμετρο και το κυβικό εκατοστόμετρο (κ.εκ.) — έναν κύβο με ακμή 1 εκατοστό.

Φαντάσου έναν όγκο φτιαγμένο από πολλά μικρά κυβάκια με ακμή 1 εκατοστό, το καθένα από τα οποία είναι ακριβώς 1 κυβικό εκατοστό. Αν μια κατασκευή αποτελείται, για παράδειγμα, από 27 τέτοια κυβάκια, τότε ο όγκος της είναι 27 κυβικά εκατοστά.

Αυτός ο τρόπος μέτρησης —το «μέτρημα» κυβικών μονάδων μία-μία— είναι σωστός, αλλά δεν είναι πάντα βολικός. Όταν το στερεό είναι μεγάλο ή έχει αρκετά μεγαλύτερες διαστάσεις, είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογίσουμε τον όγκο με έναν τύπο, χωρίς να χρειάζεται να «χωρίσουμε» το σώμα σε μικρά κυβάκια και να τα μετρήσουμε ένα-ένα.

Πώς προκύπτει ο τύπος του όγκου 🔢

Ας δούμε μια κατασκευή από κυβικά εκατοστά με μήκος 4 εκ. και πλάτος 4 εκ. Η βάση της αποτελείται από 4 × 4 = 16 κυβάκια, δηλαδή το εμβαδό της βάσης είναι 16 τετραγωνικά εκατοστά.

Αν πάνω σε αυτή τη βάση βάλουμε 3 «στρώσεις» κυβάκιων (δηλαδή το ύψος της κατασκευής είναι 3 εκ.), τότε ο συνολικός αριθμός των κυβάκιων —άρα και ο όγκος— είναι:

16 \times 3 = 48 \text{ κ.εκ.}

Δηλαδή, ο όγκος προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε το εμβαδό της βάσης επί το ύψος. Και επειδή το εμβαδό της βάσης είναι μήκος επί πλάτος, καταλήγουμε σε έναν πολύ χρήσιμο κανόνα: πολλαπλασιάζουμε τις τρεις διαστάσεις του στερεού μεταξύ τους.

Ο τύπος του όγκου του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου 📏

Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ίσος με το γινόμενο του μήκους επί το πλάτος επί το ύψος του:

Ο_{\text{παραλληλεπιπέδου}} = \text{μήκος} \times \text{πλάτος} \times \text{ύψος}

ή πιο σύντομα, αν συμβολίσουμε τις τρεις διαστάσεις με $α$ , $β$ και $γ$ :

Ο = α \cdot β \cdot γ

Για παράδειγμα, ένα κουτί με μήκος 5 εκ., πλάτος 3 εκ. και ύψος 2 εκ. έχει όγκο:

Ο = 5 \times 3 \times 2 = 30 \text{ κ.εκ.}

Ο τύπος του όγκου του κύβου 🎲

Ο κύβος είναι μια ειδική περίπτωση ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, όπου το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι όλα ίσα — είναι δηλαδή η ίδια η ακμή του κύβου. Γι' αυτό ο τύπος του όγκου του κύβου γίνεται:

Ο_{\text{κύβου}} = α \cdot α \cdot α = α^3

όπου $α$ είναι το μήκος της ακμής. Για παράδειγμα, ένας κύβος με ακμή 4 εκ. έχει όγκο:

Ο = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ κ.εκ.}

Ξέρεις γιατί το λέμε «στην τρίτη»;

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό τρεις φορές με τον εαυτό του, γράφουμε $α^3$ και το διαβάζουμε « $α$ στην τρίτη» ή « $α$ στον κύβο». Δεν είναι τυχαίο: αυτή η πράξη πήρε το όνομά της ακριβώς επειδή υπολογίζει τον όγκο ενός κύβου με ακμή $α$ !

Ένα πρόβλημα με φάλαινες 🐳

Μια φάλαινα ζούσε σε μια πισίνα με διαστάσεις 28 μ. μήκος, 13 μ. πλάτος και 6 μ. ύψος. Μεγάλωσε όμως τόσο πολύ που τη μετέφεραν σε μια νέα πισίνα, με διαστάσεις 46 μ. μήκος, 23 μ. πλάτος και 8 μ. ύψος. Πόσο μεγαλύτερη είναι η νέα πισίνα;

Για να συγκρίνουμε το μέγεθος δύο πισινών, δεν αρκεί να δούμε μόνο το μήκος και το πλάτος τους: πρέπει να υπολογίσουμε τον όγκο τους, γιατί μόνο ο όγκος δείχνει πόσο νερό —άρα και πόσο χώρο για κίνηση— χωράει η καθεμία.

Όγκος παλιάς πισίνας:

28 \times 13 \times 6 = 2.184 \text{ κ.μ.}

Όγκος νέας πισίνας:

46 \times 23 \times 8 = 8.464 \text{ κ.μ.}

Η διαφορά των δύο όγκων είναι:

8.464 - 2.184 = 6.280 \text{ κ.μ.}

Η νέα πισίνα είναι λοιπόν 6.280 κυβικά μέτρα μεγαλύτερη — αρκετός χώρος για να κολυμπάει άνετα μια μεγάλη φάλαινα!

Χρήσιμη εφαρμογή: πόσα μικρά κουτιά χωράνε σε ένα μεγάλο; 📦

Μια πολύ χρήσιμη χρήση του όγκου είναι όταν θέλουμε να βρούμε πόσα μικρά κουτιά χωράνε μέσα σε ένα μεγαλύτερο. Υπολογίζουμε τον όγκο του μεγάλου κουτιού, τον όγκο του μικρού κουτιού, και διαιρούμε τον πρώτο με τον δεύτερο.

Για παράδειγμα, ένα μεγάλο κουτί με διαστάσεις 70 × 50 × 30 εκ. έχει όγκο:

70 \times 50 \times 30 = 105.000 \text{ κ.εκ.}

Ένα μικρό κουτί με διαστάσεις 7 × 5 × 3 εκ. έχει όγκο:

7 \times 5 \times 3 = 105 \text{ κ.εκ.}

Άρα, μέσα στο μεγάλο κουτί χωράνε:

105.000 \div 105 = 1.000 \text{ μικρά κουτιά}

Πρόσεξε τις μονάδες!

Ο όγκος σε κυβικά εκατοστά (κ.εκ.) χρησιμοποιείται για μικρά αντικείμενα, ενώ ο όγκος σε κυβικά μέτρα (κ.μ.) χρησιμοποιείται για μεγάλους χώρους, όπως δεξαμενές ή δωμάτια. Πριν κάνεις οποιαδήποτε πράξη, βεβαιώσου ότι όλες οι διαστάσεις που πολλαπλασιάζεις είναι εκφρασμένες στην ίδια μονάδα μέτρησης — αλλιώς το αποτέλεσμα θα είναι λάθος.

Μην μπερδεύεις εμβαδό και όγκο

Το εμβαδό είναι γινόμενο δύο διαστάσεων (μήκος × πλάτος) και μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες (π.χ. τ.εκ.). Ο όγκος είναι γινόμενο τριών διαστάσεων (μήκος × πλάτος × ύψος) και μετριέται σε κυβικές μονάδες (π.χ. κ.εκ.). Ένα κοινό λάθος είναι να ξεχνάμε το ύψος και να υπολογίζουμε μόνο εμβαδό όταν ζητείται όγκος.

Τι κρατάμε 🎯

Ο όγκος δείχνει πόσο χώρο καταλαμβάνει ένα στερεό σώμα και μετριέται σε κυβικές μονάδες (κ.εκ., κ.μ. κ.λπ.).
Ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου: $Ο = \text{μήκος} \times \text{πλάτος} \times \text{ύψος} = α \cdot β \cdot γ$ .
Ο όγκος κύβου: $Ο = α \cdot α \cdot α = α^3$ , όπου $α$ η ακμή του.
Ο όγκος ισοδυναμεί με το εμβαδό της βάσης επί το ύψος του στερεού.
Πριν πολλαπλασιάσουμε, πρέπει όλες οι διαστάσεις να είναι στην ίδια μονάδα μέτρησης.
Χρησιμοποιούμε τον όγκο για να συγκρίνουμε μεγέθη στερεών ή για να βρούμε πόσα μικρότερα αντικείμενα χωράνε σε ένα μεγαλύτερο.