Ο κύλινδρος 🥫

Σκέψου μια κονσέρβα, ένα κουτάκι αναψυκτικού ή ένα ρολό χαρτί κουζίνας. Όλα αυτά έχουν το ίδιο γεωμετρικό σχήμα: είναι κύλινδροι. Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε τι είναι ακριβώς ένας κύλινδρος, πώς «ξεδιπλώνεται» και πώς υπολογίζουμε πόση επιφάνεια έχει.

Τι είναι ο κύλινδρος

Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό στερεό που έχει:

Δύο κυκλικές βάσεις, ίσες μεταξύ τους και παράλληλες. Είναι σαν δύο ίδιοι κυκλικοί δίσκοι, ένας πάνω και ένας κάτω.
Μία καμπύλη παράπλευρη επιφάνεια, που τυλίγεται γύρω και ενώνει τις δύο βάσεις.

Ο κύλινδρος δεν έχει ούτε ακμές ούτε κορυφές, γιατί δεν έχει επίπεδες γωνίες σαν τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα· η επιφάνειά του γύρω-γύρω είναι καμπύλη και ενώνεται ομαλά.

Κύλινδροι παντού γύρω μας

Το σχήμα του κυλίνδρου το συναντάμε συνέχεια στην καθημερινότητα: κονσέρβες, κουτάκια αναψυκτικού, ρολά χαρτιού, ακόμα και οι κορμοί πολλών δέντρων έχουν σχεδόν κυλινδρικό σχήμα. Ο λόγος είναι πρακτικός — ένα κυλινδρικό δοχείο αντέχει καλά στην πίεση και είναι εύκολο να το τυλίξεις από επίπεδο υλικό.

Το ανάπτυγμα του κυλίνδρου

Αν «ξεντύσουμε» έναν κύλινδρο, δηλαδή αν ανοίξουμε την επιφάνειά του σε επίπεδα κομμάτια, παίρνουμε το ανάπτυγμά του. Χρειαζόμαστε ακριβώς τρία κομμάτια:

Έναν κύκλο για την πάνω βάση.
Έναν ίδιο κύκλο για την κάτω βάση.
Ένα ορθογώνιο για την παράπλευρη επιφάνεια.

Το πιο ενδιαφέρον σημείο είναι το ορθογώνιο. Φαντάσου ότι κόβεις κάθετα την ετικέτα ενός κουτιού αναψυκτικού και την ξεδιπλώνεις: θα γίνει ένα ορθογώνιο κομμάτι χαρτί. Οι δύο πλευρές αυτού του ορθογωνίου είναι:

Το ύψος του κυλίνδρου (η μία διάσταση του ορθογωνίου).
Το μήκος του κύκλου της βάσης, δηλαδή η περίμετρος του κύκλου (η άλλη διάσταση).

Αυτό συμβαίνει επειδή, όταν τυλίγουμε το ορθογώνιο γύρω-γύρω, η μία πλευρά του πρέπει να «κουμπώνει» ακριβώς πάνω στην περιφέρεια του κύκλου της βάσης. Αν η πλευρά αυτή δεν έχει το ίδιο μήκος με την περίμετρο της βάσης, το ανάπτυγμα δεν θα κλείσει σωστά σε κύλινδρο.

Γιατί δεν έχει άκρες;

Ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχουν ακμές γιατί οι επίπεδες πλευρές τους συναντιούνται σε ευθείες γραμμές. Στον κύλινδρο η παράπλευρη επιφάνεια είναι καμπύλη και «κολλάει» ομαλά πάνω στις κυκλικές βάσεις, χωρίς αιχμηρή γωνία — γι' αυτό λέμε ότι δεν έχει ακμές και κορυφές.

Υπολογισμός εμβαδών

Για να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου, αρκεί να ξέρουμε δύο μετρήσεις: την ακτίνα $α$ της βάσης και το ύψος $υ$ του κυλίνδρου.

Εμβαδό μιας βάσης (κύκλος):

Ε_{βάσης} = \pi \cdot α^2

Εμβαδό παράπλευρης επιφάνειας (ορθογώνιο, με βάση την περίμετρο του κύκλου και ύψος το ύψος του κυλίνδρου):

Ε_{παράπλευρη} = \pi \cdot δ \cdot υ

όπου $δ$ είναι η διάμετρος της βάσης ( $δ = 2 \cdot α$ ). Θυμήσου ότι η περίμετρος ενός κύκλου είναι $\pi \cdot δ$ — αυτή γίνεται η μία πλευρά του ορθογωνίου.

Ολική επιφάνεια (και οι δύο βάσεις μαζί με την παράπλευρη επιφάνεια):

Ε_{ολική} = 2 \cdot Ε_{βάσης} + Ε_{παράπλευρη}

Ένα παράδειγμα

Ένα κυλινδρικό κουτάκι αναψυκτικού έχει ύψος 12 εκατοστά και διάμετρο βάσης 6 εκατοστά. Πόσο αλουμίνιο χρειάζεται για να το φτιάξουμε;

Πρώτα βρίσκουμε την ακτίνα: $α = 6 : 2 = 3$ εκ.

Εμβαδό μιας βάσης:

Ε_{βάσης} = 3,14 \cdot 3^2 = 3,14 \cdot 9 = 28,26 \; τ.εκ.

Εμβαδό παράπλευρης επιφάνειας: η μία πλευρά του ορθογωνίου είναι η περίμετρος της βάσης, δηλαδή $3,14 \cdot 6 = 18,84$ εκ., και η άλλη πλευρά είναι το ύψος, 12 εκ.

Ε_{παράπλευρη} = 18,84 \cdot 12 = 226,08 \; τ.εκ.

Ολική επιφάνεια: προσθέτουμε τις δύο βάσεις και την παράπλευρη επιφάνεια.

Ε_{ολική} = 2 \cdot 28,26 + 226,08 = 56,52 + 226,08 = 282,6 \; τ.εκ.

Άρα χρειάζονται 282,6 τετραγωνικά εκατοστά αλουμίνιο για κάθε κουτάκι.

Προσοχή στη διάμετρο και την ακτίνα!

Στον τύπο της βάσης χρησιμοποιούμε την ακτίνα ( $Ε = \pi \cdot α^2$ ), ενώ στον τύπο της παράπλευρης επιφάνειας χρησιμοποιούμε τη διάμετρο μέσα στην περίμετρο ( $\pi \cdot δ$ ). Αν μπερδέψεις τα δύο, θα βγει λάθος αποτέλεσμα — πρόσεξε πάντα ποιο μέγεθος σου δίνει η άσκηση.

Πώς σχεδιάζουμε έναν κύλινδρο σε χαρτί

Όταν θέλουμε να ζωγραφίσουμε έναν κύλινδρο σε ένα φύλλο χαρτί, ακολουθούμε τρία βήματα, όπως και στα ορθογώνια στερεά:

Σχεδιάζουμε την πρώτη βάση. Επειδή δεν τη βλέπουμε ακριβώς από πάνω, δεν φαίνεται τέλειος κύκλος, αλλά οβάλ σχήμα.
Σχεδιάζουμε δύο ίσα, κάθετα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τις δύο βάσεις· αυτά ορίζουν την παράπλευρη επιφάνεια.
Σχεδιάζουμε την απέναντι βάση, ίδια με την πρώτη.

Αν θέλουμε ο κύλινδρος να φαίνεται συμπαγής (αδιαφανής), σβήνουμε το τμήμα της κάτω βάσης που κρύβεται πίσω από την παράπλευρη επιφάνεια.

Προσοχή στο σχήμα των βάσεων!

Όταν σχεδιάζουμε κύλινδρο σε χαρτί, οι βάσεις ζωγραφίζονται σαν οβάλ, όχι σαν ημικύκλια. Ένα συχνό λάθος είναι να σχεδιάζεται μόνο το μισό κύκλο για κάθε βάση — αυτό δεν δείχνει σωστά το σχήμα του κυλίνδρου.

Τι κρατάμε 🎯

Ο κύλινδρος έχει δύο ίσες, παράλληλες κυκλικές βάσεις και μία καμπύλη παράπλευρη επιφάνεια. Δεν έχει ακμές ούτε κορυφές.
Το ανάπτυγμά του αποτελείται από δύο κύκλους (τις βάσεις) και ένα ορθογώνιο (την παράπλευρη επιφάνεια).
Η μία πλευρά του ορθογωνίου είναι το ύψος του κυλίνδρου, η άλλη είναι η περίμετρος της κυκλικής βάσης.
Εμβαδό βάσης: $Ε_{βάσης} = \pi \cdot α^2$ .
Εμβαδό παράπλευρης επιφάνειας: $Ε_{παράπλευρη} = \pi \cdot δ \cdot υ$ .
Ολική επιφάνεια: $Ε_{ολική} = 2 \cdot Ε_{βάσης} + Ε_{παράπλευρη}$ .
Στο σχέδιο, οι βάσεις του κυλίνδρου φαίνονται σαν οβάλ σχήματα, όχι κύκλοι ή ημικύκλια.