Κύβος και Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο 📦

Γύρω μας υπάρχουν πολλά αντικείμενα με τη μορφή "κουτιού": ένα ζάρι, μια συσκευασία δημητριακών, ένα βιβλίο. Όλα αυτά είναι γεωμετρικά στερεά με επίπεδες επιφάνειες. Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να "ανοίγουμε" αυτά τα στερεά σε ένα επίπεδο και να υπολογίζουμε πόσο υλικό χρειάζεται για να τα καλύψουμε.

Ο κύβος

Ο κύβος είναι ένα στερεό που έχει 6 έδρες, και κάθε έδρα του είναι ένα τετράγωνο. Όλες οι έδρες του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους. Ένα ζάρι είναι το πιο γνωστό παράδειγμα κύβου: έχει έξι όμοιες τετράγωνες πλευρές, γι' αυτό όταν το ρίχνουμε κάθε πλευρά έχει την ίδια πιθανότητα να "κοιτάζει" προς τα πάνω — είναι δίκαιο παιχνίδι.

Άλλα αντικείμενα με σχήμα κύβου: ένα παγάκι, ένας κύβος ζάχαρης, ο κύβος του Ρούμπικ.

Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι κι αυτό ένα στερεό με 6 έδρες, όμως οι έδρες του δεν είναι τετράγωνα — είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Οι απέναντι έδρες του είναι ίσες ανά δύο (δηλαδή έχει τρία ζευγάρια ίσων εδρών, όχι έξι ίδιες έδρες όπως ο κύβος). Ένα κουτί δημητριακών, ένα κουτί γάλακτος, ένα βιβλίο ή μια γόμα έχουν αυτό το σχήμα.

Η βασική διαφορά, λοιπόν, ανάμεσα στα δύο στερεά είναι το σχήμα των εδρών τους: τετράγωνα στον κύβο, ορθογώνια παραλληλόγραμμα στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

Βάσεις, παράπλευρη και ολική επιφάνεια

Όταν ένα στερεό στέκεται πάνω σε μια επιφάνεια:

Η έδρα πάνω στην οποία στηρίζεται, καθώς και η απέναντί της, λέγονται βάσεις του στερεού.
Οι υπόλοιπες έδρες (αυτές που το "τυλίγουν" γύρω-γύρω) σχηματίζουν την παράπλευρη επιφάνεια.
Οι βάσεις μαζί με την παράπλευρη επιφάνεια αποτελούν την ολική επιφάνεια του στερεού, δηλαδή όλη την "εξωτερική ντυμένη επιφάνειά" του.

Ξέρεις ότι...

Σε ένα ζάρι, οι απέναντι έδρες έχουν πάντα άθροισμα 7 (1 με 6, 2 με 5, 3 με 4). Αυτό δεν είναι τυχαίο — είναι κανόνας που ακολουθούν όλα τα ζάρια, ώστε το παιχνίδι να είναι ισορροπημένο!

Το ανάπτυγμα ενός στερεού

Ανάπτυγμα ενός στερεού λέγεται το αποτύπωμα όλων των εδρών του πάνω σε ένα επίπεδο, τοποθετημένες η μία δίπλα στην άλλη με τέτοιο τρόπο ώστε, αν τις διπλώσουμε, να ξανασχηματίζουν το στερεό. Είναι σαν να "ξεδιπλώνουμε" ένα χάρτινο κουτί μέχρι να γίνει επίπεδο.

Ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο δεν έχουν μόνο ένα ανάπτυγμα το καθένα — υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι να τοποθετήσουμε τις έξι έδρες τους ώστε, διπλώνοντάς τες, να προκύψει το ίδιο στερεό. Ο κύβος, μάλιστα, έχει αρκετά διαφορετικά αναπτύγματα — δεν είναι μόνο το γνωστό σχήμα "σταυρού".

Πρόσεξε!

Πολλοί μαθητές νομίζουν ότι ο κύβος έχει μόνο ένα ανάπτυγμα. Αυτό είναι λάθος: υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι να απλώσουμε τις 6 τετράγωνες έδρες του σε ένα επίπεδο ώστε να διπλώνουν σωστά και να σχηματίζουν κύβο.

Πώς υπολογίζω το εμβαδόν της επιφάνειας ενός κύβου

Επειδή όλες οι έδρες του κύβου είναι ίσα τετράγωνα, αρκεί να βρω το εμβαδόν μίας έδρας και μετά να το πολλαπλασιάσω:

Ε_{\text{έδρας}} = α \times α

Ολική επιφάνεια (και οι 6 έδρες): $Ε_{\text{ολική}} = 6 \times Ε_{\text{έδρας}}$
Παράπλευρη επιφάνεια (χωρίς τις 2 βάσεις, δηλαδή 4 έδρες): $Ε_{\text{παράπλευρης}} = 4 \times Ε_{\text{έδρας}}$

Παράδειγμα: Ένας ξύλινος κύβος έχει ακμή 50 εκατοστά (δηλαδή 0,5 μ.). Πόσο ύφασμα χρειάζομαι για να τον καλύψω ολόκληρο, και πόσο μόνο για την παράπλευρη επιφάνεια;

Πρώτα βρίσκω το εμβαδόν μίας έδρας:

Ε_{\text{έδρας}} = 0,5 \, \text{μ.} \times 0,5 \, \text{μ.} = 0,25 \, \text{τ.μ.}

Μετά υπολογίζω:

Ε_{\text{ολική}} = 6 \times 0,25 = 1,5 \, \text{τ.μ.}

Ε_{\text{παράπλευρης}} = 4 \times 0,25 = 1,0 \, \text{τ.μ.}

Άρα χρειάζομαι 1,5 τ.μ. ύφασμα για όλη την επιφάνεια, και 1,0 τ.μ. αν καλύψω μόνο την παράπλευρη επιφάνεια (χωρίς πάνω και κάτω βάση).

Πώς υπολογίζω το εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

Εδώ οι έδρες δεν είναι όλες ίδιες, αλλά είναι ίσες ανά δύο (τρία ζευγάρια). Η διαδικασία είναι:

Βρίσκω το εμβαδόν μιας έδρας από κάθε ζευγάρι (3 πολλαπλασιασμοί, ένας για κάθε ζευγάρι διαστάσεων).
Πολλαπλασιάζω το καθένα από αυτά τα εμβαδά επί 2, αφού κάθε ζευγάρι εμφανίζεται δύο φορές στο στερεό.
Προσθέτω τα τρία γινόμενα για να βρω την ολική επιφάνεια.

Παράδειγμα: Ένα κουτί έχει διαστάσεις 0,3 μ., 0,6 μ. και 1,3 μ. Πόσο ύφασμα χρειάζομαι για να καλύψω όλη την επιφάνειά του;

Ζευγάρι εδρών	Εμβαδόν μίας έδρας	Επί 2
0,3 × 1,3	0,39 τ.μ.	0,78 τ.μ.
0,6 × 1,3	0,78 τ.μ.	1,56 τ.μ.
0,6 × 0,3	0,18 τ.μ.	0,36 τ.μ.

Προσθέτω τα τρία αποτελέσματα:

0,78 + 1,56 + 0,36 = 2,7 \, \text{τ.μ.}

Άρα χρειάζομαι 2,7 τ.μ. ύφασμα για όλη την επιφάνεια του κουτιού.

Πρόσεξε στα ανοιχτά στερεά!

Αν ένα στερεό είναι ανοιχτό από πάνω (όπως ένα ενυδρείο χωρίς καπάκι), τότε δεν υπολογίζω τη μία βάση! Πρέπει πάντα να διαβάζω προσεκτικά το πρόβλημα για να καταλάβω ποιες έδρες πρέπει πραγματικά να υπολογίσω.

Τι κρατάμε 🎯

Ο κύβος έχει 6 ίσες τετράγωνες έδρες. Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει 6 έδρες σε τρία ζευγάρια ίσων ορθογωνίων παραλληλογράμμων.
Βάσεις είναι η έδρα στήριξης και η απέναντί της· παράπλευρη επιφάνεια είναι οι υπόλοιπες έδρες· ολική επιφάνεια είναι το άθροισμα όλων.
Ανάπτυγμα είναι το άπλωμα όλων των εδρών ενός στερεού σε ένα επίπεδο, έτσι ώστε με δίπλωση να ξανασχηματίζεται το στερεό. Κάθε στερεό έχει πολλά διαφορετικά αναπτύγματα, όχι μόνο ένα.
Για τον κύβο: $Ε_{\text{ολική}} = 6 \times α \times α$ και $Ε_{\text{παράπλευρης}} = 4 \times α \times α$ .
Για το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: βρίσκω το εμβαδόν κάθε ζευγαριού εδρών, το πολλαπλασιάζω επί 2, και προσθέτω τα τρία γινόμενα.
Σε ανοιχτά στερεά (π.χ. χωρίς καπάκι), αφαιρώ την έδρα που λείπει από τον υπολογισμό.