Το εμβαδό του τραπεζίου 📐

Ξέρεις ήδη να βρίσκεις το εμβαδό τετραγώνου, ορθογωνίου και παραλληλογράμμου. Σήμερα θα μάθεις πώς υπολογίζουμε το εμβαδό ενός ακόμα σχήματος: του τραπεζίου.

Τι είναι το τραπέζιο

Το τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Αυτές οι δύο παράλληλες πλευρές λέγονται βάσεις του τραπεζίου:

Η μεγάλη βάση (Β) είναι η μεγαλύτερη από τις δύο παράλληλες πλευρές.
Η μικρή βάση (β) είναι η μικρότερη από τις δύο παράλληλες πλευρές.

Το ύψος (υ) του τραπεζίου είναι η απόσταση ανάμεσα στις δύο βάσεις, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα που είναι κάθετο και στις δύο παράλληλες πλευρές ταυτόχρονα. Γι' αυτό, όταν θέλουμε να σχεδιάσουμε το ύψος ενός τραπεζίου, δεν μπορούμε να το φέρουμε σε οποιαδήποτε πλευρά· πρέπει να το φέρουμε ανάμεσα στις δύο βάσεις.

Προσοχή στο ύψος!

Πολλοί μαθητές νομίζουν ότι το ύψος μπορεί να είναι οποιαδήποτε πλευρά του τραπεζίου. Δεν είναι έτσι: το ύψος είναι πάντα η κάθετη απόσταση ανάμεσα στις δύο παράλληλες βάσεις, όχι μία από τις άλλες δύο πλευρές (τα λεγόμενα «σκέλη» του τραπεζίου).

Πώς βρίσκουμε τον τύπο

Φαντάσου ένα τραπέζιο. Αν φτιάξεις ένα ακριβώς ίδιο δεύτερο τραπέζιο, το γυρίσεις ανάποδα και το κολλήσεις δίπλα στο πρώτο, τα δύο τραπέζια μαζί σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο.

Το παραλληλόγραμμο αυτό έχει:

Ύψος ίσο με το ύψος του τραπεζίου.
Βάση ίση με το άθροισμα της μικρής και της μεγάλης βάσης του τραπεζίου, δηλαδή $β + Β$ , αφού οι δύο βάσεις των τραπεζίων ενώνονται σε μία ευθεία.

Ξέρουμε ότι το εμβαδό παραλληλογράμμου είναι βάση επί ύψος, άρα το εμβαδό των δύο τραπεζίων μαζί είναι $(β + Β) \times υ$ . Επειδή τα δύο τραπέζια είναι ίδια, το εμβαδό του ενός τραπεζίου είναι το μισό:

Ε_{τραπεζίου} = \frac{(β + Β) \times υ}{2}

Δηλαδή: προσθέτουμε τη μικρή και τη μεγάλη βάση, πολλαπλασιάζουμε το άθροισμα με το ύψος, και διαιρούμε το αποτέλεσμα δια δύο.

Ένα έξυπνο κόλπο

Ο τύπος του τραπεζίου δεν είναι κάτι καινούριο και ξεχωριστό — είναι απλώς μισό παραλληλόγραμμο! Δύο ίδια τραπέζια, τοποθετημένα το ένα ανάποδα δίπλα στο άλλο, φτιάχνουν πάντα ένα παραλληλόγραμμο με βάση το άθροισμα των δύο βάσεων του τραπεζίου.

Ένα παράδειγμα

Ας υπολογίσουμε το εμβαδό ενός τραπεζίου με μικρή βάση $β = 5$ εκ., μεγάλη βάση $Β = 8$ εκ. και ύψος $υ = 4$ εκ.

Ε = \frac{(5 + 8) \times 4}{2} = \frac{13 \times 4}{2} = \frac{52}{2} = 26 \text{ τ.εκ.}

Το εμβαδό του τραπεζίου είναι 26 τετραγωνικά εκατοστά.

Εμβαδά σύνθετων σχημάτων

Πολλά σχήματα που συναντάμε στην καθημερινότητα —η κάτοψη ενός κτιρίου, το σχέδιο μιας στέγης, ένα οικόπεδο— δεν είναι απλά τετράγωνα ή τρίγωνα, αλλά πιο περίπλοκα πολύγωνα. Για να βρούμε το εμβαδό τους, ακολουθούμε μια απλή στρατηγική:

Χωρίζουμε το μεγάλο σχήμα σε μικρότερα, γνωστά σχήματα (τρίγωνα, τετράγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα, τραπέζια), όσο το δυνατόν λιγότερα.
Υπολογίζουμε το εμβαδό κάθε μικρού σχήματος ξεχωριστά, με τον κατάλληλο τύπο.
Προσθέτουμε όλα τα επιμέρους εμβαδά για να βρούμε το συνολικό εμβαδό.

Ας δούμε ένα παράδειγμα: ένα κτίριο έχει σχήμα τραπεζίου με μικρή βάση 1,5 μ., μεγάλη βάση 1,9 μ. και ύψος 3 μ. Το εμβαδό του είναι:

Ε = \frac{(1{,}5 + 1{,}9) \times 3}{2} = \frac{3{,}4 \times 3}{2} = \frac{10{,}2}{2} = 5{,}1 \text{ τ.μ.}

Αν αργότερα το κτίριο επεκταθεί με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πλάτους 1,4 μ. και ύψους 1,9 μ., το νέο κομμάτι έχει εμβαδό:

Ε_{παραλλ.} = 1{,}4 \times 1{,}9 = 2{,}66 \text{ τ.μ.}

Το συνολικό εμβαδό του κτιρίου τώρα είναι το άθροισμα των δύο επιμέρους εμβαδών:

Ε_{συνολικό} = 5{,}1 + 2{,}66 = 7{,}76 \text{ τ.μ.}

Παρατήρησε πως δεν χρειάστηκε να βρούμε κάποιον νέο, πολύπλοκο τύπο. Απλώς χωρίσαμε το σχήμα σε κομμάτια που ήδη ξέρουμε να υπολογίζουμε, και προσθέσαμε τα αποτελέσματα.

Ένας δεύτερος τρόπος να βρούμε το εμβαδό τραπεζίου

Υπάρχει κι ένας άλλος τρόπος να «ανακαλύψουμε» το εμβαδό ενός τραπεζίου, χωρίς καν να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο απευθείας: χωρίζοντάς το σε μικρότερα γνωστά σχήματα.

Ένα τραπέζιο μπορεί να χωριστεί σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στη μέση και δύο ορθογώνια τρίγωνα στις άκρες (αν φέρουμε το ύψος από τις δύο κορυφές της μικρής βάσης προς τη μεγάλη βάση). Τότε:

Ε_{τραπεζίου} = Ε_{παραλληλογράμμου} + 2 \times Ε_{τριγώνου}

Αυτός ο τρόπος μάς δείχνει ξανά κάτι σημαντικό στη Γεωμετρία: τα σύνθετα σχήματα «κρύβουν» μέσα τους απλούστερα σχήματα, και η κατανόηση αυτής της σχέσης μας βοηθά να λύνουμε προβλήματα χωρίς να αποστηθίζουμε άπειρους τύπους.

Τι κρατάμε 🎯

Το τραπέζιο έχει δύο παράλληλες πλευρές: τη μικρή βάση (β) και τη μεγάλη βάση (Β).
Το ύψος (υ) είναι η κάθετη απόσταση ανάμεσα στις δύο βάσεις — όχι οποιαδήποτε άλλη πλευρά.
Ο τύπος του εμβαδού είναι $Ε = \dfrac{(β + Β) \times υ}{2}$ : άθροισμα βάσεων επί ύψος, δια δύο.
Ο τύπος προκύπτει επειδή δύο ίδια τραπέζια, ενωμένα κατάλληλα, σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο.
Για σύνθετα σχήματα, τα χωρίζουμε σε γνωστά μικρότερα σχήματα, υπολογίζουμε το εμβαδό του καθενός και τα προσθέτουμε.