Βρίσκω το Εμβαδό Τριγώνου 🔺

Ξέρεις ήδη πώς βρίσκουμε το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου: βάση επί ύψος. Το τρίγωνο έχει κι αυτό βάση και ύψος, αλλά ο τύπος του κρύβει μια έκπληξη: το τρίγωνο είναι πάντα το μισό ενός παραλληλογράμμου!

Βάση και ύψος στο τρίγωνο

Σε κάθε τρίγωνο μπορούμε να διαλέξουμε οποιαδήποτε πλευρά ως βάση. Από την απέναντι κορυφή φέρνουμε μια κάθετη γραμμή προς τη βάση (ή προς την προέκτασή της) — αυτή η κάθετη γραμμή λέγεται ύψος του τριγώνου.

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, άρα μπορούμε να φέρουμε τρία ύψη, ένα για κάθε πλευρά που διαλέγουμε ως βάση.
Σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο, το ύψος που ξεκινά από την κορυφή της αμβλείας γωνίας πέφτει έξω από το τρίγωνο, πάνω στην προέκταση της απέναντι πλευράς.

Πρόσεχε τη βάση και το ύψος!

Η βάση και το ύψος πρέπει πάντα να ταιριάζουν μεταξύ τους: το ύψος είναι η κάθετη απόσταση ΠΡΟΣ τη βάση που διάλεξες. Αν αλλάξεις βάση, αλλάζει και το ύψος που πρέπει να χρησιμοποιήσεις.

Γιατί το τρίγωνο είναι το μισό ενός παραλληλογράμμου

Φαντάσου ένα τρίγωνο. Αν φτιάξεις ένα ακριβώς ίδιο αντίγραφό του και το γυρίσεις ανάποδα, μπορείς να το κολλήσεις πάνω στο πρώτο τρίγωνο έτσι ώστε μαζί να σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο που προκύπτει έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος με το αρχικό τρίγωνο.

Αφού το παραλληλόγραμμο φτιάχτηκε από δύο ίδια τρίγωνα, κάθε τρίγωνο είναι ακριβώς το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου.

Το ξέρεις από το τοστ!

Ένα τοστ σε σχήμα ορθογωνίου, όταν το κόψουμε διαγώνια στη μέση, δίνει δύο ίδια τρίγωνα. Κάθε κομμάτι έχει ακριβώς το μισό εμβαδό του αρχικού τοστ — ακριβώς επειδή ένα τρίγωνο είναι πάντα το μισό ενός παραλληλογράμμου (ή ορθογωνίου) με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος.

Ο τύπος του εμβαδού

Αφού το εμβαδό του παραλληλογράμμου είναι $β \times υ$ και το τρίγωνο είναι το μισό του, καταλήγουμε στον τύπο:

Ε_{(τριγώνου)} = \frac{β \times υ}{2}

όπου $β$ είναι η βάση και $υ$ το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή τη βάση.

Παράδειγμα

Ένα τρίγωνο έχει βάση $β = 6$ εκ. και ύψος $υ = 4$ εκ.

Πρώτα πολλαπλασιάζουμε βάση επί ύψος:

6 \times 4 = 24 \text{ τ.εκ.}

Μετά διαιρούμε με το 2, γιατί το τρίγωνο είναι το μισό του παραλληλογράμμου:

\frac{24}{2} = 12 \text{ τ.εκ.}

Άρα το εμβαδό του τριγώνου είναι 12 τετραγωνικά εκατοστά.

Μην ξεχνάς τη διαίρεση με το 2!

Το πιο συχνό λάθος είναι να υπολογίσουμε μόνο $β \times υ$ και να ξεχάσουμε να διαιρέσουμε με το 2. Αυτό θα μας έδινε το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου, όχι τριγώνου!

Λύνω ένα πρόβλημα

Ένας κηπουρός θέλει να στρώσει με χλοοτάπητα έναν κήπο σε σχήμα τριγώνου. Η βάση του τριγώνου είναι 32 μέτρα και το αντίστοιχο ύψος είναι 16 μέτρα. Μέσα στον κήπο υπάρχει ένα σπίτι σε σχήμα τετραγώνου με πλευρά 8 μέτρα, που δεν χρειάζεται χλοοτάπητα. Ο χλοοτάπητας κοστίζει 8 € το τετραγωνικό μέτρο. Πόσο θα κοστίσει συνολικά;

Βήμα 1: Εμβαδό ολόκληρου του τριγωνικού κήπου

Ε = \frac{32 \times 16}{2} = \frac{512}{2} = 256 \text{ τ.μ.}

Βήμα 2: Εμβαδό του σπιτιού

Ε_{σπιτιού} = 8 \times 8 = 64 \text{ τ.μ.}

Βήμα 3: Το εμβαδό που χρειάζεται πραγματικά χλοοτάπητα

256 - 64 = 192 \text{ τ.μ.}

Βήμα 4: Συνολικό κόστος

192 \times 8 = 1.536 \text{ €}

Ο χλοοτάπητας θα κοστίσει 1.536 €.

Μια χρήσιμη παρατήρηση

Δύο τρίγωνα μπορεί να μοιάζουν εντελώς διαφορετικά — άλλο σχήμα, άλλες γωνίες — αλλά αν έχουν το ίδιο γινόμενο βάσης επί ύψος, έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδό. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο με βάση 12 εκ. και ύψος 4 εκ. έχει το ίδιο εμβαδό με ένα τρίγωνο με βάση 8 εκ. και ύψος 6 εκ., αφού:

\frac{12 \times 4}{2} = 24 \text{ τ.εκ.} \qquad \text{και} \qquad \frac{8 \times 6}{2} = 24 \text{ τ.εκ.}

Αυτό συμβαίνει επειδή το εμβαδό εξαρτάται μόνο από το γινόμενο $β \times υ$ , όχι από το πόσο "μυτερό" ή "πλατύ" φαίνεται το τρίγωνο.

Τι κρατάμε 🎯

Κάθε τρίγωνο έχει βάση και το αντίστοιχο ύψος του: το ύψος είναι η κάθετη απόσταση από μια κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της).
Κάθε τρίγωνο είναι το μισό ενός παραλληλογράμμου με ίδια βάση και ίδιο ύψος.
Ο τύπος του εμβαδού είναι $Ε = \dfrac{β \times υ}{2}$ .
Πρώτα πολλαπλασιάζουμε βάση επί ύψος, μετά διαιρούμε με το 2 — μην ξεχνάς ποτέ τη διαίρεση!
Τρίγωνα με διαφορετικό σχήμα μπορεί να έχουν το ίδιο εμβαδό, αν έχουν το ίδιο γινόμενο βάσης επί ύψος.