Το εμβαδό του παραλληλογράμμου 📐

Ένα παραλληλόγραμμο μπορεί να είναι «ίσιο» (ορθογώνιο) ή να γέρνει στο πλάι. Το ωραίο είναι ότι, όσο κι αν αλλάζει η κλίση του, υπάρχει ένας απλός τρόπος να βρίσκουμε πάντα το εμβαδό του. Ας δούμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Βάση και ύψος: τι είναι στ' αλήθεια

Σε κάθε παραλληλόγραμμο υπάρχουν δύο ζευγάρια παράλληλων πλευρών. Όποιο ζευγάρι διαλέξουμε να θεωρήσουμε «οριζόντιο», οι δύο του πλευρές λέγονται βάσεις του παραλληλογράμμου.

Το ύψος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φεύγει από τη μία βάση και φτάνει κάθετα (δηλαδή σχηματίζοντας ορθή γωνία) στην απέναντι πλευρά. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το ύψος συμπίπτει με την πλάγια πλευρά, γι' αυτό εκεί μιλάμε απλά για μήκος και πλάτος. Σε ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο όμως, το ύψος είναι διαφορετικό από την πλάγια πλευρά — είναι πάντα η κάθετη απόσταση ανάμεσα στις δύο βάσεις.

Προσοχή στο ύψος!

Σε ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο, το ύψος δεν είναι η πλάγια πλευρά του σχήματος. Πολλοί μαθητές μπερδεύουν τις δύο πλευρές μεταξύ τους και υπολογίζουν λάθος εμβαδό. Το ύψος είναι πάντα η κάθετη απόσταση από τη βάση ως την απέναντι πλευρά, όχι μια πλάγια γραμμή.

Γιατί «πλαγιάζω αλλά δεν αλλάζω»

Φαντάσου ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Αν το «σπρώξουμε» απαλά από το πλάι, χωρίς να αλλάξουμε το μήκος της βάσης του ούτε το ύψος του, γίνεται πλάγιο. Το σχήμα άλλαξε μορφή, αλλά ο χώρος που καταλαμβάνει έμεινε ακριβώς ο ίδιος!

Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε αν φανταστούμε ότι κόβουμε ένα τρίγωνο από τη μία άκρη του πλάγιου παραλληλογράμμου και το μεταφέρουμε στην άλλη άκρη. Το κομμάτι που κόψαμε ταιριάζει ακριβώς εκεί, γιατί οι δύο πλάγιες πλευρές είναι ίσες και παράλληλες. Έτσι σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με τις ίδιες διαστάσεις βάσης και ύψους, χωρίς να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε καθόλου επιφάνεια.

Αυτός είναι ο λόγος που ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο με βάση $β$ και ύψος $υ$ έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδό με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που έχει τις ίδιες διαστάσεις $β$ και $υ$ .

Το ήξερες;

Αυτή η ιδέα — ότι μπορούμε να κόψουμε ένα σχήμα σε κομμάτια και να τα ξαναβάλουμε αλλιώς χωρίς να αλλάξει το εμβαδό — είναι η βάση αρχαίων παιχνιδιών γεωμετρίας, όπου από τα ίδια λίγα κομμάτια φτιάχνονται δεκάδες διαφορετικά σχήματα με το ίδιο πάντα εμβαδό!

Ο τύπος του εμβαδού

Το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος:

Ε_{παραλληλογράμμου} = β \times υ

Όπου:

$β$ είναι το μήκος της βάσης
$υ$ είναι το αντίστοιχο ύψος (η κάθετη απόσταση ως την απέναντι πλευρά)

Αν γνωρίζουμε το εμβαδό και μία από τις δύο διαστάσεις, μπορούμε να βρούμε την άλλη διαιρώντας:

β = \frac{Ε}{υ} \qquad υ = \frac{Ε}{β}

Παράδειγμα υπολογισμού

Ένα παραλληλόγραμμο έχει βάση 5 εκατοστά και ύψος 3 εκατοστά. Το εμβαδό του είναι:

Ε = 5 \, εκ. \times 3 \, εκ. = 15 \, τ.εκ.

Αν αντίθετα ξέραμε ότι το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου είναι 38,25 τ.εκ. και το ύψος του 4,5 εκ., θα βρίσκαμε τη βάση του διαιρώντας:

β = \frac{38,25}{4,5} = 8,5 \, εκ.

Εφαρμογή σε πρόβλημα με κλίμακα

Ο τύπος αυτός μας βοηθάει και σε πρακτικά προβλήματα. Ας πούμε ότι θέλουμε να στρώσουμε ένα κομμάτι γης σε σχήμα παραλληλογράμμου με έτοιμο χλοοτάπητα, που πουλιέται σε κομμάτια του 1 τετραγωνικού μέτρου, με τιμή 20 € το κομμάτι.

Αν σε ένα σχέδιο με κλίμακα 1:150 η βάση μετράει 3,4 εκ. και το ύψος 1,9 εκ., πρέπει πρώτα να βρούμε τις πραγματικές διαστάσεις πολλαπλασιάζοντας με την κλίμακα:

πραγματική \, βάση = 3,4 \, εκ. \times 150 = 510 \, εκ. = 5,1 \, μ.

πραγματικό \, ύψος = 1,9 \, εκ. \times 150 = 285 \, εκ. = 2,85 \, μ.

Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο:

Ε = 5,1 \, μ. \times 2,85 \, μ. = 14,535 \, τ.μ. \approx 15 \, τ.μ.

Άρα χρειαζόμαστε 15 κομμάτια χλοοτάπητα, και το κόστος θα είναι:

15 \times 20 \, € = 300 \, €

Πολλά παραλληλόγραμμα μαζί

Μερικές φορές μια επιφάνεια αποτελείται από πολλά όμοια παραλληλόγραμμα. Τότε πρώτα βρίσκουμε το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου και μετά πολλαπλασιάζουμε με το πλήθος τους.

Για παράδειγμα, αν ένα παραλληλόγραμμο έχει βάση 12 μέτρα και ύψος 16 μέτρα, το εμβαδό του είναι:

Ε = 12 \times 16 = 192 \, τ.μ.

Αν χρειαζόμαστε 6 τέτοια παραλληλόγραμμα, το συνολικό εμβαδό είναι:

6 \times 192 = 1.152 \, τ.μ.

Μέγεθος	Τύπος	Τι δείχνει
Εμβαδό $Ε$	$Ε = β \times υ$	Πόσο χώρο καλύπτει το σχήμα
Βάση $β$	$β = Ε \div υ$	Το μήκος μιας πλευράς αναφοράς
Ύψος $υ$	$υ = Ε \div β$	Η κάθετη απόσταση ως την απέναντι πλευρά

Τι κρατάμε 🎯

Το εμβαδό παραλληλογράμμου βρίσκεται με τον τύπο $Ε = β \times υ$ .
Το ύψος είναι πάντα η κάθετη απόσταση από τη βάση ως την απέναντι πλευρά — δεν είναι η πλάγια πλευρά του σχήματος.
Ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο έχει το ίδιο εμβαδό με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που έχει τις ίδιες διαστάσεις βάσης και ύψους: «πλαγιάζει αλλά δεν αλλάζει» το εμβαδό του.
Αν ξέρουμε το εμβαδό και τη μία διάσταση, βρίσκουμε την άλλη με διαίρεση: $β = Ε \div υ$ ή $υ = Ε \div β$ .
Σε προβλήματα με σχέδιο και κλίμακα, πρώτα μετατρέπουμε τις διαστάσεις σε πραγματικό μέγεθος και μετά εφαρμόζουμε τον τύπο.