Αξονική συμμετρία 🦋
Κοίταξε μια πεταλούδα, ένα φύλλο ή το γράμμα Α. Έχουν κάτι κοινό: αν τα «διπλώσεις» νοερά στη μέση, το ένα μισό πέφτει ακριβώς πάνω στο άλλο. Αυτό το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό λέγεται αξονική συμμετρία και θα μάθουμε πώς το αναγνωρίζουμε και πώς το χρησιμοποιούμε.
Τι είναι ο άξονας συμμετρίας;
Όταν ένα σχήμα μπορεί να χωριστεί με μία ευθεία γραμμή σε δύο τμήματα, έτσι ώστε το ένα τμήμα να είναι η αντανάκλαση του άλλου, τότε το σχήμα λέγεται συμμετρικό ως προς άξονα.
Η ευθεία γραμμή που χωρίζει το σχήμα στα δύο ίσα, καθρεφτισμένα μέρη ονομάζεται άξονας συμμετρίας.
Φαντάσου ότι ο άξονας συμμετρίας είναι σαν ένας καθρέφτης στημένος όρθιος πάνω στο σχήμα: ό,τι βλέπεις από τη μία πλευρά, το ίδιο ακριβώς (αλλά αντεστραμμένο) βλέπεις και στην αντανάκλαση του καθρέφτη.
Κάθε ευθεία που περνάει από το κέντρο ενός κύκλου (δηλαδή κάθε διάμετρος) είναι άξονας συμμετρίας. Επειδή μπορούμε να χαράξουμε άπειρες διαμέτρους, ο κύκλος έχει άπειρους άξονες συμμετρίας — περισσότερους από κάθε άλλο σχήμα!
Πόσους άξονες συμμετρίας μπορεί να έχει ένα σχήμα;
Ένα σχήμα μπορεί να έχει:
- Κανέναν άξονα συμμετρίας (π.χ. ένα σκαληνό τρίγωνο, όπου καμία πλευρά δεν είναι ίση με καμία άλλη)
- Έναν άξονα συμμετρίας (π.χ. το γράμμα Α έχει μόνο έναν, κατακόρυφο)
- Δύο ή περισσότερους άξονες (π.χ. ένα ορθογώνιο έχει δύο, ένα τετράγωνο έχει τέσσερις)
- Άπειρους άξονες (μόνο ο κύκλος)
| Σχήμα | Αριθμός αξόνων συμμετρίας |
|---|---|
| Ισόπλευρο τρίγωνο | 3 |
| Τετράγωνο | 4 |
| Ορθογώνιο (όχι τετράγωνο) | 2 |
| Ρόμβος | 2 (οι διαγώνιοί του) |
| Κύκλος | άπειροι |
| Σκαληνό τρίγωνο | 0 |
Ένα «πλάγιο» ή «λοξό» παραλληλόγραμμο (δηλαδή παραλληλόγραμμο που δεν έχει ορθές γωνίες) δεν έχει κανέναν άξονα συμμετρίας. Ακόμα κι αν οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, δεν υπάρχει ευθεία που να το χωρίζει σε δύο καθρεφτισμένα μέρη. Μην μπερδεύεις την ισότητα πλευρών με τη συμμετρία!
Άξονας μέσα ή έξω από το σχήμα
Ο άξονας συμμετρίας δεν χρειάζεται πάντα να περνάει μέσα από το σχήμα.
- Σε πολλά σχήματα (π.χ. τρίγωνο, τετράγωνο) ο άξονας τέμνει το σχήμα, περνώντας από κορυφές ή μέσα πλευρών.
- Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις όπου δύο ξεχωριστά σχήματα (π.χ. δύο ίδια τρίγωνα, τοποθετημένα το ένα απέναντι στο άλλο) είναι συμμετρικά ως προς έναν άξονα που βρίσκεται ανάμεσά τους, χωρίς να περνάει μέσα από κανένα από τα δύο.
Το σημαντικό δεν είναι πού βρίσκεται η ευθεία, αλλά αν, όταν «διπλώσουμε» το σχήμα πάνω σε αυτήν, τα δύο μέρη ταυτίζονται απόλυτα.
Πώς ελέγχουμε αν ένα σχήμα είναι συμμετρικό
Ο πιο απλός τρόπος να σκεφτόμαστε είναι το δίπλωμα: αν διπλώσουμε νοερά το σχήμα πάνω στην υποψήφια ευθεία και τα δύο μέρη συμπίπτουν ακριβώς — σημείο με σημείο, γωνία με γωνία — τότε η ευθεία είναι πράγματι άξονας συμμετρίας.
Υπάρχει και ένας πιο ακριβής τρόπος, χρήσιμος όταν σχεδιάζουμε σε χαρτί με τετραγωνάκια:
- Διάλεξε μια κορυφή του σχήματος.
- Φέρε από αυτήν μια γραμμή κάθετη προς τον άξονα συμμετρίας.
- Μέτρα πόσα τετραγωνάκια απέχει η κορυφή από τον άξονα.
- Στην απέναντι πλευρά του άξονα, σε ίση απόσταση, βρίσκεται το συμμετρικό σημείο της κορυφής.
Αν κάνουμε αυτό για όλες τις κορυφές και τις ενώσουμε, σχεδιάζουμε ολόκληρο το συμμετρικό σχήμα. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο ενός συμμετρικού σχήματος έχει το «ταίρι» του στην άλλη πλευρά, στην ίδια ακριβώς απόσταση από τον άξονα, πάνω σε ευθεία κάθετη προς αυτόν.
Πολλοί μαθητές νομίζουν ότι ο άξονας συμμετρίας πρέπει να είναι πάντα μια όρθια (κατακόρυφη) γραμμή. Στην πραγματικότητα μπορεί να είναι οριζόντιος, πλάγιος ή διαγώνιος — όπως στον ρόμβο, όπου οι δύο άξονες συμμετρίας είναι οι διαγώνιοί του.
Συμμετρία στη φύση και γύρω μας
Γύρω μας —στη φύση αλλά και στις ανθρώπινες κατασκευές— συναντάμε συχνά σχήματα που «αποτελούνται» από δύο όμοια μέρη: πεταλούδες, φύλλα, λουλούδια, πρόσωπα, κτίρια, πινακίδες κυκλοφορίας. Ενδιαφέρον είναι ότι στη φύση σπάνια υπάρχει τέλεια συμμετρία: αν διπλώσουμε στη μέση τη φωτογραφία ενός φύλλου, θα δούμε ότι τα δύο μισά μοιάζουν πολύ, αλλά δεν είναι απόλυτα ίδια. Στα γεωμετρικά σχήματα, όμως, η συμμετρία που μελετάμε είναι ακριβής και μαθηματική.
Τι κρατάμε 🎯
- Ένα σχήμα είναι συμμετρικό ως προς άξονα όταν μια ευθεία το χωρίζει σε δύο μέρη που είναι το ένα αντανάκλαση (καθρέφτισμα) του άλλου.
- Αυτή η ευθεία λέγεται άξονας συμμετρίας.
- Ένα σχήμα μπορεί να έχει κανέναν, έναν, περισσότερους ή και άπειρους (μόνο ο κύκλος) άξονες συμμετρίας.
- Ο άξονας μπορεί να περνάει μέσα από το σχήμα ή να βρίσκεται εκτός αυτού — αυτό που μετράει είναι αν τα δύο μέρη ταυτίζονται όταν διπλώνουμε πάνω του.
- Κάθε σημείο ενός συμμετρικού σχήματος έχει το συμμετρικό του ταίρι στην ίδια απόσταση από τον άξονα, πάνω σε κάθετη γραμμή προς αυτόν.
- Πλάγια (μη ορθογώνια) παραλληλόγραμμα δεν έχουν κανέναν άξονα συμμετρίας.