Μεγεθύνω και μικραίνω σχήματα με κλίμακα 📐

Πολλά πράγματα γύρω μας είναι πολύ μεγάλα ή πολύ μικρά για να τα σχεδιάσουμε στο πραγματικό τους μέγεθος πάνω σε ένα χαρτί. Ένα σπίτι, μια πισίνα, ακόμα και ένα γραμματόσημο πολλές φορές χρειάζεται να σχεδιαστεί μεγεθυμένο ή σμικρυμένο για να χωράει άνετα στη σελίδα. Το μυστικό είναι ότι το σχέδιο πρέπει να μοιάζει ΑΚΡΙΒΩΣ με το πραγματικό σχήμα — απλώς σε άλλο μέγεθος.

Τι σημαίνει «ίδιο σχήμα, άλλο μέγεθος»

Όταν μεγεθύνουμε ή μικραίνουμε ένα σχήμα σωστά, δύο πράγματα πρέπει να ισχύουν:

Όλες οι πλευρές αλλάζουν με τον ίδιο τρόπο (όλες γίνονται π.χ. διπλάσιες, ή όλες γίνονται τρεις φορές μικρότερες). Αυτό λέγεται ότι κρατάμε την αναλογία των διαστάσεων.
Οι γωνίες του σχήματος παραμένουν ακριβώς ίδιες. Μόνο το μέγεθος αλλάζει, ποτέ η μορφή.

Αν τυχαία μεγαλώσουμε μόνο το μήκος ενός σχήματος και όχι το πλάτος του, το σχήμα «παραμορφώνεται» — δεν είναι πια το ίδιο σχήμα, είναι ένα άλλο, πιο επιμηκυμένο. Γι' αυτό η αναλογία είναι τόσο σημαντική.

Παράδειγμα: Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 2 εκ. και 3 εκ. Αν το διπλασιάσουμε σωστά, θα γίνει 4 εκ. και 6 εκ. — και οι δύο πλευρές πολλαπλασιάστηκαν επί 2. Αν όμως κάναμε το 2 να γίνει 4 αλλά το 3 να μείνει 3, δεν θα είχαμε πια το ίδιο ορθογώνιο μεγεθυμένο, αλλά ένα εντελώς διαφορετικό σχήμα.

Προσοχή στο συχνό λάθος

Δεν αλλάζουμε τις γωνίες όταν μεγεθύνουμε ή μικραίνουμε ένα σχήμα! Ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όσο κι αν το μεγαλώσουμε ή το μικρύνουμε, θα έχει πάντα μια γωνία 90°. Αλλάζουν μόνο τα μήκη των πλευρών, ποτέ οι γωνίες.

Τι είναι η κλίμακα

Όταν σχεδιάζουμε κάτι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το πραγματικό, γράφουμε πάνω στο σχέδιο έναν αριθμό που λέγεται κλίμακα. Η κλίμακα μας δείχνει τη σχέση ανάμεσα σε μια απόσταση πάνω στο σχέδιο και στην αντίστοιχη πραγματική απόσταση.

Γράφουμε την κλίμακα σαν λόγο (κλάσμα ή διαίρεση), για παράδειγμα 1:100 ή $\frac{1}{100}$ . Αυτό σημαίνει:

1 \text{ εκατοστό στο σχέδιο} \; \longrightarrow \; 100 \text{ εκατοστά στην πραγματικότητα}

Ο πρώτος αριθμός στην κλίμακα αναφέρεται πάντα στο σχέδιο, ο δεύτερος στο πραγματικό μέγεθος. Έτσι, κλίμακα 1:100 σημαίνει ότι το σχέδιο είναι 100 φορές μικρότερο από την πραγματικότητα, ενώ αντίθετα κλίμακα 3:1 θα σήμαινε ότι το σχέδιο είναι 3 φορές μεγαλύτερο από το πραγματικό αντικείμενο (χρήσιμο π.χ. για να σχεδιάσουμε κάτι πολύ μικρό, όπως ένα έντομο, ώστε να φαίνονται καλά οι λεπτομέρειές του).

Το να γράφουμε την κλίμακα πάνω στο σχέδιο είναι απαραίτητο: χωρίς αυτήν, όποιος κοιτάζει το σχέδιο δεν μπορεί να καταλάβει ποιες είναι οι πραγματικές διαστάσεις του αντικειμένου.

Το ήξερες;

Οι χάρτες χρησιμοποιούν πάντα κλίμακα, συχνά πολύ μεγάλη! Ένας χάρτης με κλίμακα 1:1.000.000 σημαίνει ότι κάθε εκατοστό στον χάρτη αντιστοιχεί σε 1.000.000 εκατοστά στην πραγματικότητα, δηλαδή σε 10 ολόκληρα χιλιόμετρα!

Πώς μικραίνω ένα σχήμα με κλίμακα

Όταν έχουμε τις πραγματικές διαστάσεις και θέλουμε να βρούμε τις διαστάσεις του σχεδίου, διαιρούμε με τον αριθμό της κλίμακας.

Παράδειγμα: Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα αντικείμενο με πραγματικό μήκος 3,6 εκ. και πλάτος 3,2 εκ., αλλά σε κλίμακα 1:4 (δηλαδή 4 φορές μικρότερο).

3,6 : 4 = 0,9 \text{ εκ.} \qquad 3,2 : 4 = 0,8 \text{ εκ.}

Το σχέδιο θα έχει μήκος 0,9 εκ. και πλάτος 0,8 εκ. Παρατήρησε ότι και οι δύο διαστάσεις διαιρέθηκαν με τον ίδιο αριθμό (το 4) — έτσι κρατήσαμε την αναλογία.

Το ίδιο ισχύει και όταν οι μονάδες είναι διαφορετικές. Αν μια πισίνα έχει πραγματικό μήκος 50 μέτρα και θέλουμε να τη σχεδιάσουμε σε κλίμακα 1:1.000, πρέπει πρώτα να μετατρέψουμε τα μέτρα σε εκατοστά (1 μέτρο = 100 εκατοστά):

50 \text{ μ.} = 5.000 \text{ εκ.} \qquad 5.000 : 1.000 = 5 \text{ εκ.}

Το μήκος στο σχέδιο θα είναι 5 εκατοστά. Με τον ίδιο τρόπο, το πλάτος των 30 μέτρων (δηλαδή 3.000 εκ.) γίνεται $3.000 : 1.000 = 3$ εκατοστά.

Πώς βρίσκω τις πραγματικές διαστάσεις από ένα σχέδιο

Αν ξέρουμε την κλίμακα ενός σχεδίου και μετράμε πάνω σε αυτό, μπορούμε να βρούμε τις πραγματικές διαστάσεις κάνοντας το αντίθετο: πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμό της κλίμακας.

Παράδειγμα: Ένα σχέδιο δωματίου έχει κλίμακα 1:100. Μετράμε πάνω στο σχέδιο πλάτος 3 εκ. και μήκος 2 εκ. Αφού 1 εκατοστό στο σχέδιο αντιστοιχεί σε 100 εκατοστά στην πραγματικότητα:

3 \times 100 = 300 \text{ εκ.} = 3 \text{ μέτρα} \qquad 2 \times 100 = 200 \text{ εκ.} = 2 \text{ μέτρα}

Το πραγματικό δωμάτιο έχει πλάτος 3 μέτρα και μήκος 2 μέτρα.

Μεγέθυνση με απλά πολλαπλάσια

Δεν χρειάζεται πάντα κλίμακα με τη μορφή 1:κάτι. Μερικές φορές λέμε απλά ότι θέλουμε ένα σχήμα διπλάσιο ή τριπλάσιο. Τότε:

Για διπλάσιο σχήμα: πολλαπλασιάζουμε ΟΛΕΣ τις πλευρές επί 2.
Για τριπλάσιο σχήμα: πολλαπλασιάζουμε ΟΛΕΣ τις πλευρές επί 3.

Και το αντίστροφο: αν ξέρουμε ότι ένα σχέδιο έχει τριπλάσιες διαστάσεις από το πραγματικό αντικείμενο, για να βρούμε τις πραγματικές διαστάσεις πρέπει να διαιρέσουμε με το 3 (όχι να πολλαπλασιάσουμε!). Ο κανόνας είναι: ό,τι πράξη έγινε για να φτιαχτεί το σχέδιο, κάνουμε την αντίστροφη πράξη για να βρούμε το πραγματικό μέγεθος.

Τι θέλω να βρω	Τι ξέρω	Τι κάνω
Διαστάσεις σχεδίου (σμίκρυνση)	Πραγματικές διαστάσεις, κλίμακα 1:v	Διαιρώ με το $v$
Πραγματικές διαστάσεις	Διαστάσεις σχεδίου, κλίμακα 1:v	Πολλαπλασιάζω επί $v$
Διαστάσεις σχεδίου (μεγέθυνση)	Πραγματικές διαστάσεις, λόγος μεγέθυνσης $κ$	Πολλαπλασιάζω επί $κ$
Πραγματικές διαστάσεις	Διαστάσεις σχεδίου, λόγος μεγέθυνσης $κ$	Διαιρώ με το $κ$

Τι κρατάμε 🎯

Όταν μεγεθύνουμε ή μικραίνουμε ένα σχήμα, όλες οι πλευρές αλλάζουν με την ίδια αναλογία, ενώ οι γωνίες παραμένουν ίδιες.
Η κλίμακα είναι ο λόγος της απόστασης στο σχέδιο προς την πραγματική απόσταση και γράφεται πάντα πάνω στο σχέδιο, π.χ. 1:100.
Στην κλίμακα 1:v, ο πρώτος αριθμός αφορά το σχέδιο και ο δεύτερος την πραγματικότητα.
Για να βρω τις διαστάσεις του σχεδίου από τις πραγματικές (σμίκρυνση), διαιρώ με τον αριθμό της κλίμακας.
Για να βρω τις πραγματικές διαστάσεις από το σχέδιο, πολλαπλασιάζω με τον αριθμό της κλίμακας.
Πριν κάνω πράξεις, πρέπει οι μονάδες μέτρησης να είναι ίδιες (π.χ. να μετατρέψω τα μέτρα σε εκατοστά).