Σχεδιάζω γωνίες με το μοιρογνωμόνιο 📐

Μέχρι τώρα έμαθες να μετράς μια γωνία που υπάρχει ήδη μπροστά σου. Σε αυτή την ενότητα θα κάνεις το αντίστροφο: θα κατασκευάζεις μόνος σου μια γωνία συγκεκριμένου μεγέθους, χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιο και τον χάρακα. Θα μάθεις επίσης πώς προσθέτουμε και πώς αφαιρούμε γωνίες.

Πώς κατασκευάζω μια γωνία βήμα-βήμα

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε μια γωνία $130°$. Ακολουθούμε τρία βήματα:

1. Χαράζουμε μια ευθεία με τον χάρακα. Αυτή θα γίνει η μία πλευρά της γωνίας μας, με αρχή μια κορυφή, ας την πούμε $Ο$.
2. Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο έτσι ώστε το κέντρο του να συμπίπτει ακριβώς με την κορυφή $Ο$, και η βάση του (η γραμμή 0°-180°) να ταυτίζεται με την ευθεία που χαράξαμε.
3. Σημειώνουμε μια τελεία στο σημείο όπου η βαθμολογημένη άκρη του μοιρογνωμόνιου δείχνει $130°$, και μετά ενώνουμε την κορυφή $Ο$ με αυτή την τελεία, χρησιμοποιώντας τον χάρακα. Η δεύτερη πλευρά της γωνίας είναι έτοιμη.

Έτσι δημιουργήσαμε μια γωνία $130°$ με ακρίβεια — χωρίς να τη «μαντέψουμε» με το μάτι.

Άθροισμα γωνιών: δύο τρόποι

Όταν θέλουμε να βρούμε πόσες μοίρες κάνουν μαζί δύο ή περισσότερες γωνίες, έχουμε δύο τρόπους δουλειάς:

• Αριθμητικά: μετράμε κάθε γωνία ξεχωριστά με το μοιρογνωμόνιο και προσθέτουμε τα μεγέθη τους.
• Γεωμετρικά: τοποθετούμε τις γωνίες τη μία δίπλα στην άλλη (έτσι ώστε να μοιράζονται μια κοινή πλευρά και κορυφή) και μετράμε απευθείας τη συνολική γωνία που σχηματίζεται.

Παράδειγμα: αν μια γωνία είναι $40°$ και μια δεύτερη $25°$, το άθροισμά τους είναι

Αν τις σχεδιάζαμε τη μία δίπλα στην άλλη πάνω στο χαρτί και μετρούσαμε τη συνολική γωνία με το μοιρογνωμόνιο, θα βρίσκαμε ξανά $65°$.

Διαφορά γωνιών: δύο τρόποι

Για τη διαφορά δύο γωνιών δουλεύουμε παρόμοια:

• Αριθμητικά: αφαιρούμε το μέγεθος της μικρότερης γωνίας από το μέγεθος της μεγαλύτερης.
• Γεωμετρικά: τοποθετούμε τη μία γωνία πάνω στην άλλη (με κοινή κορυφή και μία κοινή πλευρά) και μετράμε το «κομμάτι» που περισσεύει.

Παράδειγμα: αν μια γωνία είναι $115°$ και μια άλλη $23°$, η διαφορά τους είναι

Αυτή η ιδέα είναι πολύ χρήσιμη όταν ξέρουμε τη συνολική γωνία και ένα κομμάτι της, και θέλουμε να βρούμε το υπόλοιπο κομμάτι. Αν, για παράδειγμα, μια μεγάλη γωνία $x$ χωρίζεται σε δύο μικρότερες, μία γνωστή $23°$ και μία άγνωστη $γ$, και ξέρουμε ότι η μεγάλη γωνία είναι $115°$, τότε γράφουμε

και λύνουμε βρίσκοντας $γ = 115° - 23° = 92°$.

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου

Αν σχεδιάσουμε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο και μετρήσουμε τις τρεις γωνίες του με το μοιρογνωμόνιο, και μετά τις προσθέσουμε, θα βρίσκουμε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα:

Αυτό ισχύει για κάθε τρίγωνο, όσο διαφορετικό κι αν φαίνεται — μικρό, μεγάλο, μυτερό ή πλατύ. Αν, ας πούμε, οι δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι $65°$ και $60°$, τότε η τρίτη γωνία είναι

χωρίς να χρειάζεται καν να τη μετρήσουμε.

Το άθροισμα των γωνιών τετραπλεύρου

Με τον ίδιο τρόπο, αν μετρήσουμε και προσθέσουμε τις τέσσερις γωνίες οποιουδήποτε τετραπλεύρου, το άθροισμα είναι πάντα

Αυτό μας βοηθά να βρίσκουμε μια άγνωστη γωνία τετραπλεύρου αν ξέρουμε τις άλλες τρεις. Για παράδειγμα, αν τρεις γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι $90°$, $85°$ και $95°$, η τέταρτη είναι

Εφαρμογή: γωνίες γύρω από ένα κέντρο

Μια χρήσιμη εφαρμογή είναι όταν χωρίζουμε έναν πλήρη κύκλο ($360°$) σε ίσα κομμάτια. Αν, για παράδειγμα, χωρίσουμε έναν κύκλο σε 4 ίσα τεταρτημόρια, κάθε τεταρτημόριο είναι μια γωνία

Αν στη συνέχεια χωρίσουμε κάθε γωνία $90°$ σε 3 ίσα μέρη, κάθε νέο κομμάτι είναι

Έτσι, χωρίζοντας τον κύκλο σε 12 ίσα μέρη συνολικά, κάθε μέρος αντιστοιχεί σε γωνία $30°$. Αυτή η λογική —διαίρεση μιας γνωστής γωνίας σε ίσα κομμάτια— μας βοηθά να λύνουμε πολλά προβλήματα με γωνίες.

Τι κρατάμε 🎯

• Για να κατασκευάσουμε μια γωνία, χαράζουμε μια πλευρά με τον χάρακα, τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμόνιου στην κορυφή, σημειώνουμε τις μοίρες που θέλουμε και ενώνουμε με τη δεύτερη πλευρά.
• Το άθροισμα δύο γωνιών βρίσκεται είτε προσθέτοντας τα μεγέθη τους, είτε τοποθετώντας τις τη μία δίπλα στην άλλη και μετρώντας το σύνολο.
• Η διαφορά δύο γωνιών βρίσκεται είτε αφαιρώντας τα μεγέθη τους, είτε τοποθετώντας τη μία πάνω στην άλλη και μετρώντας ό,τι περισσεύει.
• Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι πάντα $180°$.
• Το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι πάντα $360°$.
• Αυτούς τους κανόνες τούς χρησιμοποιούμε για να βρίσκουμε μια άγνωστη γωνία, όταν ξέρουμε τις υπόλοιπες.