Βρίσκω την Αρχική Τιμή 🔍

Μέχρι τώρα, σε προβλήματα με ποσοστά, συνήθως ήξερες την αρχική τιμή ενός πράγματος και έψαχνες πόσο θα γίνει μετά από μια αύξηση ή μια μείωση — δηλαδή την τελική τιμή. Σε αυτό το μάθημα θα κάνουμε το αντίστροφο: θα ξέρουμε την τελική τιμή και το ποσοστό, και θα ψάχνουμε να βρούμε από πού ξεκίνησε το ποσό, δηλαδή την αρχική του τιμή.

Οι τρεις τιμές ενός προβλήματος ποσοστών 📐

Σε κάθε πρόβλημα ποσοστών υπάρχουν (ή μπορεί να υπάρχουν) τρεις τιμές:

η αρχική τιμή (πριν από την αλλαγή),
το ποσοστό % (πόσο τοις εκατό άλλαξε ή τι μέρος του συνόλου είναι),
η τελική τιμή (μετά την αλλαγή, αν υπάρχει).

Το σημαντικό είναι αυτό: ο αριθμός 100 είναι πάντα γνωστός, γιατί αντιστοιχεί στο ποσοστό της αρχικής τιμής (100%). Άρα, αν γνωρίζουμε δύο από τις τρεις τιμές, μπορούμε πάντα να βρούμε την τρίτη, φτιάχνοντας μια αναλογία.

Προσοχή: δεν υπάρχει πάντα τελική τιμή!

Σε προβλήματα όπου το ποσοστό δείχνει μέρος ενός συνόλου (π.χ. πόσοι μαθητές από όλους απάντησαν κάτι), δεν υπάρχει «αύξηση» ή «μείωση», άρα δεν υπάρχει τελική τιμή με τη μορφή που ξέρουμε. Εκεί δουλεύουμε με το σύνολο και το μέρος του.

Πρώτη περίπτωση: αύξηση ή μείωση 📰

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ένα περίπτερο πουλάει μια εφημερίδα 2 € και κερδίζει σε αυτήν 25%. Πόσο την αγόρασε το περίπτερο;

Βήμα 1. Υποθέτουμε ότι η αρχική τιμή (η τιμή αγοράς) είναι 100 €. Αφού το κέρδος είναι 25%, το περίπτερο κερδίζει 25 € και πουλάει την εφημερίδα 125 € — αυτή είναι η τελική τιμή που αντιστοιχεί στα 100 €.

Βήμα 2. Φτιάχνουμε την αναλογία ανάμεσα στην τελική και στην αρχική τιμή:

\frac{125}{100} = \frac{2}{x}

Βήμα 3. Λύνουμε με τη μέθοδο του γινομένου των άκρων και των μέσων:

125 \cdot x = 100 \cdot 2 \;\Rightarrow\; 125x = 200 \;\Rightarrow\; x = \frac{200}{125} = 1{,}6

Άρα το περίπτερο αγόρασε την εφημερίδα 1,6 €.

Παρατήρησε ότι δεν χρειάστηκε καθόλου να υπολογίσουμε το κέρδος σε ευρώ (τα 0,4 €) — μόνο η αρχική και η τελική τιμή μας ενδιέφεραν.

Ένα παράδειγμα με έκπτωση 🚲

Ας δούμε τώρα μια μείωση. Ένα ποδήλατο, μετά από έκπτωση 35%, κοστίζει 78 €. Πόσο κόστιζε πριν την έκπτωση;

Εδώ η λογική αλλάζει λίγο, γιατί η τιμή μειώνεται: αν η αρχική τιμή ήταν 100 €, μετά την έκπτωση του 35% θα είχε απομείνει το $100-35=65$ , δηλαδή 65 €.

Φτιάχνουμε την αναλογία:

\frac{65}{100} = \frac{78}{x}

65 \cdot x = 100 \cdot 78 \;\Rightarrow\; 65x = 7800 \;\Rightarrow\; x = \frac{7800}{65} = 120

Άρα το ποδήλατο κόστιζε αρχικά 120 €.

Παρατήρησε το μοτίβο

Σε μια αύξηση, η τελική τιμή είναι πάντα πάνω από 100 (π.χ. 125). Σε μια μείωση, είναι πάντα κάτω από 100 (π.χ. 65). Έτσι μπορείς να ελέγξεις γρήγορα αν η λύση σου βγάζει νόημα!

Δεύτερη περίπτωση: μέρος ενός συνόλου 🥛

Τώρα ας δούμε μια περίπτωση χωρίς αύξηση ή μείωση. Ξέρουμε ότι μια ποσότητα γάλακτος περιέχει 600 mg ασβέστιο, και αυτό καλύπτει το 75% των ημερήσιων αναγκών ενός ανθρώπου σε ασβέστιο. Πόσα mg ασβεστίου χρειάζεται συνολικά την ημέρα;

Εδώ δεν υπάρχει «αρχική» και «τελική» τιμή με την έννοια της αύξησης — υπάρχει το σύνολο (οι συνολικές ανάγκες, δηλαδή το 100%) και το μέρος (τα 600 mg, δηλαδή το 75%). Φτιάχνουμε την αναλογία:

\frac{75}{100} = \frac{600}{x}

75 \cdot x = 100 \cdot 600 \;\Rightarrow\; 75x = 60\,000 \;\Rightarrow\; x = \frac{60\,000}{75} = 800

Άρα ο οργανισμός χρειάζεται 800 mg ασβεστίου την ημέρα.

Μην ψάχνεις έκπτωση ή κέρδος εκεί που δεν υπάρχει

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να προσπαθήσεις να αφαιρέσεις ή να προσθέσεις κάτι στο 100, όπως στην πρώτη περίπτωση. Όταν το ποσοστό δείχνει μέρος ενός συνόλου, το 100 αντιστοιχεί απευθείας στο σύνολο — δεν το αλλάζεις με καμία αύξηση ή μείωση.

Όταν ξέρουμε ήδη το ποσοστό και το μέρος 💻

Μερικές φορές δεν χρειάζεται καν να υποθέσουμε τα 100, γιατί οι δύο γνωστές τιμές δίνονται κατευθείαν. Παράδειγμα: σε μια έρευνα, 210 μαθητές απάντησαν κάτι, και αυτοί αντιστοιχούν στο 70% όλων των μαθητών που ρωτήθηκαν. Πόσοι ήταν συνολικά;

Έχουμε ήδη δύο τιμές — το ποσοστό (70%, που αντιστοιχεί στο σύνολο 100%) και το μέρος (210, που αντιστοιχεί στο άγνωστο σύνολο x). Η αναλογία γράφεται κατευθείαν:

\frac{70}{100} = \frac{210}{x}

70 \cdot x = 100 \cdot 210 \;\Rightarrow\; 70x = 21\,000 \;\Rightarrow\; x = \frac{21\,000}{70} = 300

Άρα συνολικά ρωτήθηκαν 300 μαθητές. Αν θέλουμε να βρούμε πόσοι απάντησαν διαφορετικά, αφαιρούμε: $300-210=90$ μαθητές.

Πώς αποφασίζω ποια αναλογία να φτιάξω; 🧭

Μια χρήσιμη ερώτηση για να ξεκινήσεις κάθε πρόβλημα: ποιο ποσοστό αντιστοιχεί στο 100;

Αν το πρόβλημα μιλάει για αύξηση ή έκπτωση πάνω σε μια αρχική τιμή, τότε η αρχική τιμή είναι το 100%, και η τελική τιμή είναι $100+$ ποσοστό (αύξηση) ή $100-$ ποσοστό (μείωση).
Αν το πρόβλημα μιλάει για ένα μέρος ενός συνόλου (π.χ. πόσοι από όλους, τι ποσοστό περιέχει μια ουσία), τότε το σύνολο είναι το 100%, και η γνωστή ποσότητα είναι το ποσοστό που δίνεται.

Σε κάθε περίπτωση, στήνουμε την αναλογία $\dfrac{\text{ποσοστό γνωστής τιμής}}{100} = \dfrac{\text{γνωστή τιμή}}{\text{άγνωστη τιμή}}$ και λύνουμε με το γινόμενο των άκρων και των μέσων.

Τι κρατάμε 🎯

Σε κάθε πρόβλημα ποσοστών υπάρχουν τρεις τιμές: αρχική τιμή, ποσοστό %, τελική τιμή· ο αριθμός 100 είναι πάντα γνωστός.
Αν ξέρουμε δύο από τις τρεις τιμές, βρίσκουμε την τρίτη με αναλογία.
Σε αύξηση: τελική τιμή αντιστοιχεί σε $100+$ ποσοστό. Σε μείωση: τελική τιμή αντιστοιχεί σε $100-$ ποσοστό.
Όταν το ποσοστό δείχνει μέρος ενός συνόλου, δουλεύουμε με σύνολο (100%) και μέρος, όχι με αρχική/τελική τιμή.
Λύνουμε πάντα την αναλογία με το γινόμενο των άκρων και των μέσων: αν $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , τότε $a\cdot d = b\cdot c$ .
Δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε τιμές που δεν μας ζητούνται (π.χ. το ίδιο το κέρδος σε ευρώ), αν δεν χρειάζονται για τη λύση.