Η απλή μέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά 🔄

Ξέρεις ήδη ότι όταν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, όσο μεγαλώνει το ένα, τόσο μικραίνει το άλλο — και το γινόμενό τους παραμένει πάντα σταθερό. Μέχρι τώρα έλυνες τέτοια προβλήματα με τον πίνακα ποσών και τιμών, βρίσκοντας τα ίσα γινόμενα. Υπάρχει όμως κι ένας πιο σύντομος τρόπος: η απλή μέθοδος των τριών. Λέγεται έτσι επειδή σε κάθε πρόβλημα γνωρίζουμε τρεις τιμές και ψάχνουμε την τέταρτη, άγνωστη τιμή, που τη συμβολίζουμε με $x$.

Τα τρία βήματα 🌟

Η μέθοδος έχει πάντα την ίδια, σταθερή πορεία.

1ο βήμα — Κατάταξη 🔢
Τακτοποιούμε τα δεδομένα βάζοντας τα ποσά του ίδιου είδους το ένα κάτω από το άλλο, σε δύο στήλες. Στη μία γραμμή μπαίνει το ένα είδος ποσού (π.χ. το μήκος), στην άλλη το δεύτερο είδος (π.χ. η ποσότητα), και ο άγνωστος $x$ μπαίνει πάντα στη θέση που του αναλογεί.

2ο βήμα — Σύγκριση ποσών 🧐
Εξετάζουμε αν τα δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αυτό το ελέγχουμε με τη λογική της κατάστασης: αν μικρύνει το ένα ποσό, αυξάνεται το άλλο; Τότε είναι αντιστρόφως ανάλογα.

3ο βήμα — Λύση 🧮
Εδώ βρίσκεται η διαφορά από τα ανάλογα ποσά. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που βρίσκεται πάνω από το $x$ επί το κλάσμα που σχηματίζουν οι άλλοι δύο αριθμοί όπως είναι, χωρίς να το αντιστρέψουμε.

Ένα παράδειγμα βήμα-βήμα 🛠️

Μια εταιρεία υπολόγισε ότι χρειάζεται 180 σωλήνες μήκους 5 μέτρων για να καλύψει μια απόσταση. Αν χρησιμοποιήσει σωλήνες των 3 μέτρων, πόσους θα χρειαστεί;

Πρώτα σκεφτόμαστε: όσο πιο μικροί είναι οι σωλήνες, τόσο περισσότερους χρειαζόμαστε. Άρα τα ποσά «μήκος σωλήνα» και «πλήθος σωλήνων» είναι αντιστρόφως ανάλογα.

1ο βήμα — Κατάταξη:

2ο βήμα — Σύγκριση: Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, όπως είδαμε παραπάνω.

3ο βήμα — Λύση: Ο αριθμός πάνω από το $x$ είναι το 180. Το κλάσμα των άλλων δύο αριθμών (5 και 3) το αφήνουμε όπως είναι:

Άρα θα χρειαστούν 300 σωλήνες των 3 μέτρων. Παρατήρησε ότι το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από το 180 — κάτι λογικό, αφού οι σωλήνες είναι πιο μικροί.

Δεύτερο παράδειγμα: εργάτες και ημέρες 👷

3 εργάτες τελειώνουν μια δουλειά σε 6 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα την τελειώσουν 9 εργάτες;

Όσο περισσότεροι είναι οι εργάτες, τόσο λιγότερες ημέρες χρειάζονται. Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Κατάταξη:

Λύση: Ο αριθμός πάνω από το $x$ είναι το 6, και το κλάσμα των άλλων δύο (3 και 9) μένει όπως είναι:

Άρα οι 9 εργάτες θα τελειώσουν τη δουλειά σε 2 ημέρες. Και εδώ ελέγχουμε: περισσότεροι εργάτες σημαίνει λιγότερες μέρες — άρα το αποτέλεσμα είναι λογικό.

Γιατί δουλεύει αυτή η μέθοδος; 💡

Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά ισχύει πάντα ότι το γινόμενο των δύο τιμών σε κάθε γραμμή είναι ίσο. Δηλαδή, αν τα ποσά είναι $a$, $b$ στην πρώτη γραμμή και $c$, $x$ στη δεύτερη, τότε:

Λύνοντας ως προς $x$ παίρνουμε $x = \dfrac{a \cdot b}{c}$, που είναι ακριβώς ό,τι κάνουμε στο 3ο βήμα: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό πάνω από το $x$ (το $a$) επί το κλάσμα των άλλων δύο αριθμών όπως είναι ($\dfrac{b}{c}$). Γι' αυτό δεν χρειάζεται αντιστροφή — το κλάσμα προκύπτει ήδη σωστό από την εξίσωση των ίσων γινομένων.

Πάντα ελέγχουμε την απάντηση ✅

Αφού βρούμε το $x$, σκεφτόμαστε αν το αποτέλεσμα βγάζει νόημα. Σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά:

• αν το γνωστό ποσό μειώθηκε, το άγνωστο πρέπει να αυξηθεί
• αν το γνωστό ποσό αυξήθηκε, το άγνωστο πρέπει να μειωθεί

Αν το αποτέλεσμα πηγαίνει προς την αντίθετη κατεύθυνση, κάτι έχει γίνει λάθος στη λύση — πιθανότατα ξεχάσαμε ότι στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το κλάσμα δεν αντιστρέφεται.

Τι κρατάμε 🎯

• Η απλή μέθοδος των τριών λύνει προβλήματα όπου ξέρουμε τρεις τιμές και ψάχνουμε την τέταρτη.
• Τα βήματα είναι πάντα τρία: κατάταξη (ίδιο είδος ποσού στην ίδια στήλη), σύγκριση (έλεγχος αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα) και λύση.
• Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, το $x$ βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό πάνω του επί το κλάσμα των άλλων δύο αριθμών όπως είναι, χωρίς αντιστροφή — αυτή είναι η βασική διαφορά από τα ανάλογα ποσά.
• Η μέθοδος στηρίζεται στην ιδιότητα ότι το γινόμενο των αντιστρόφως ανάλογων ποσών είναι πάντα σταθερό.
• Στο τέλος ελέγχουμε πάντα αν η απάντηση είναι λογική, συγκρίνοντας την κατεύθυνση της μεταβολής των δύο ποσών.