Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά 🔢

Ξέρεις ήδη να λύνεις προβλήματα με ανάλογα ποσά χρησιμοποιώντας την αναλογία ή την αναγωγή στη μονάδα. Σήμερα θα μάθεις έναν τρίτο, πολύ πρακτικό τρόπο: την απλή μέθοδο των τριών. Ονομάζεται έτσι επειδή ξέρουμε τρεις αριθμούς και ψάχνουμε τον τέταρτο, τον άγνωστο $x$ .

Πότε τη χρησιμοποιούμε; 🤔

Η μέθοδος αυτή λειτουργεί όταν έχουμε δύο ποσά που είναι ανάλογα: όταν το ένα μεγαλώνει (ή μικραίνει), το άλλο μεγαλώνει (ή μικραίνει) με τον ίδιο ρυθμό. Για παράδειγμα, όσο περισσότερα τετράδια αγοράζω, τόσα περισσότερα χρήματα θα πληρώσω, με τον ίδιο ακριβώς λόγο.

Πριν εφαρμόσουμε τη μέθοδο, πρέπει πάντα να ελέγχουμε ότι τα ποσά είναι πράγματι ανάλογα. Αν δεν είναι, η μέθοδος αυτή δεν ισχύει.

Τα τρία βήματα της μεθόδου 🛠️

1ο Βήμα — Κατάταξη. Γράφουμε τα δύο ζευγάρια ποσών, το ένα κάτω από το άλλο, προσέχοντας τα ποσά του ίδιου είδους (π.χ. αριθμός τετραδίων με αριθμό τετραδίων, ευρώ με ευρώ) να βρίσκονται στην ίδια στήλη.

2ο Βήμα — Σύγκριση. Ελέγχουμε ότι τα δύο ποσά είναι ανάλογα, δηλαδή ότι μεταβάλλονται με τον ίδιο τρόπο.

3ο Βήμα — Λύση. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που βρίσκεται πάνω από το $x$ επί το κλάσμα που σχηματίζουν οι άλλοι δύο αριθμοί, αλλά αντεστραμμένο (δηλαδή αλλάζουμε τη θέση αριθμητή και παρονομαστή).

Ένα πρώτο παράδειγμα ✏️

Τα 3 τετράδια κοστίζουν 2 €. Πόσο κοστίζουν 27 τετράδια;

Κάνουμε την κατάταξη:

Τετράδια	Ευρώ
3	2
27	$x$

Ο αριθμός πάνω από το $x$ είναι το 27. Οι άλλοι δύο αριθμοί (3 και 2) σχηματίζουν το κλάσμα $\frac{2}{3}$ — το αντιστρέφουμε σε $\frac{2}{3}$ όπως στη σειρά που εμφανίζονται, πολλαπλασιασμένο με το 27:

x = 27 \cdot \frac{2}{3}

x = \frac{54}{3} = 18 \,€

Άρα τα 27 τετράδια κοστίζουν 18 €.

Ο πιο συχνός τρόπος να μπερδευτούμε

Στην κατάταξη πρέπει τα ποσά του ίδιου είδους να βρίσκονται πάντα στην ίδια στήλη — όλοι οι αριθμοί τετραδίων μαζί, όλα τα ευρώ μαζί. Αν ανακατέψουμε τις στήλες, το αποτέλεσμα θα βγει λάθος, ακόμα κι αν οι πράξεις είναι σωστές.

Ένα δεύτερο παράδειγμα, βήμα προς βήμα 🎵

Ένα σχολείο θέλει να στείλει 12 μουσικά CD σε φίλους του σε άλλη χώρα. Σε ένα μαγαζί, τα 5 μουσικά CD κοστίζουν 30 €. Πόσα χρήματα θα χρειαστούν για τα 12 CD;

1ο βήμα — Κατάταξη:

CD	Ευρώ
5	30
12	$x$

2ο βήμα — Σύγκριση: Όσο αυξάνονται τα CD, αυξάνονται με τον ίδιο ρυθμό και τα χρήματα. Τα ποσά είναι ανάλογα.

3ο βήμα — Λύση: Ο αριθμός πάνω από το $x$ είναι το 12. Τον πολλαπλασιάζουμε με το αντεστραμμένο κλάσμα των άλλων δύο αριθμών:

x = 12 \cdot \frac{30}{5}

x = \frac{360}{5} = 72 \,€

Θα χρειαστούν 72 €.

Ένα ακόμη παράδειγμα, με άλλα μεγέθη 🔥

Ένας καυστήρας καίει 54 λίτρα πετρέλαιο σε 3 ώρες. Πόσες ώρες θα λειτουργεί αν υπάρχουν ακόμη 378 λίτρα πετρέλαιο;

Ώρες	Λίτρα
3	54
$x$	378

Εδώ ο άγνωστος $x$ βρίσκεται στην αριστερή στήλη, όχι κάτω-δεξιά. Ο συλλογισμός είναι ο ίδιος: παίρνουμε τον αριθμό που είναι δίπλα στο $x$ (το 3) και τον πολλαπλασιάζουμε με το κλάσμα που σχηματίζουν οι άλλοι δύο αριθμοί, αντεστραμμένο ώστε ο άγνωστος αριθμός λίτρων (378) να βρεθεί πάνω:

x = 3 \cdot \frac{378}{54}

x = \frac{1134}{54} = 21 \, \text{ώρες}

Ο καυστήρας θα λειτουργεί για 21 ώρες.

Γιατί λέγεται «των τριών»;

Η μέθοδος πήρε το όνομά της γιατί σε κάθε πρόβλημα ξέρουμε ακριβώς τρεις αριθμούς και υπολογίζουμε τον τέταρτο. Είναι μια από τις παλαιότερες μεθόδους αριθμητικής που χρησιμοποιούσαν έμποροι και τεχνίτες αιώνες πριν, πολύ πριν μάθουμε να γράφουμε αναλογίες με κλάσματα!

Γιατί δουλεύει αυτός ο τρόπος; 💡

Η απλή μέθοδος των τριών δεν είναι κάτι διαφορετικό από την αναλογία που ήδη ξέρεις — είναι απλώς μια συντομογραφία της. Αν σχηματίσουμε την αναλογία $\frac{5}{30} = \frac{12}{x}$ και εφαρμόσουμε τα σταυρωτά γινόμενα, καταλήγουμε στην ίδια ακριβώς εξίσωση: $x = 12 \cdot \frac{30}{5}$ . Όποια μέθοδο κι αν διαλέξεις —αναγωγή στη μονάδα, αναλογία, ή απλή μέθοδο των τριών— το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο, αφού λύνουν το ίδιο πρόβλημα με διαφορετικό δρόμο.

Πρόσεξε πού βρίσκεται το x

Ο άγνωστος $x$ δεν είναι πάντα κάτω-δεξιά στον πίνακα. Μπορεί να είναι σε οποιαδήποτε θέση, ανάλογα με το τι ζητάει το πρόβλημα. Ο κανόνας παραμένει ίδιος: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό δίπλα στο $x$ με το αντεστραμμένο κλάσμα των άλλων δύο αριθμών.

Τι κρατάμε 🎯

Η απλή μέθοδος των τριών χρησιμοποιείται όταν δύο ποσά είναι ανάλογα και ξέρουμε τρεις τιμές, ενώ ψάχνουμε την τέταρτη.
Ακολουθούμε τρία βήματα: κατάταξη (ίδιο είδος ποσού στην ίδια στήλη), σύγκριση (έλεγχος ότι είναι ανάλογα) και λύση (πολλαπλασιασμός με το αντεστραμμένο κλάσμα).
Ο τύπος λύσης είναι: ο αριθμός πάνω ή δίπλα από το $x$ , επί το κλάσμα των άλλων δύο αριθμών, αντεστραμμένο.
Η μέθοδος αυτή δίνει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα με την αναλογία και την αναγωγή στη μονάδα — είναι απλώς ένας πιο σύντομος δρόμος.
Η θέση του $x$ στον πίνακα αλλάζει ανάλογα με το πρόβλημα, αλλά ο τρόπος σκέψης μένει ίδιος.