Λύνω προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά 🔄

Ξέρεις ήδη ότι όταν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, όσο μεγαλώνει το ένα, τόσο μικραίνει το άλλο. Τώρα θα μάθεις δύο σίγουρους τρόπους για να λύνεις προβλήματα με τέτοια ποσά: την αναγωγή στη μονάδα και τη μέθοδο των ίσων γινομένων (με πίνακα και εξίσωση).

Πρώτος τρόπος: αναγωγή στη μονάδα 📏

Η αναγωγή στη μονάδα σημαίνει ότι βρίσκουμε πρώτα πόσο αναλογεί σε 1 μονάδα από το ένα ποσό, και μετά χρησιμοποιούμε αυτή την τιμή για να βρούμε αυτό που ζητάμε.

Σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα, όταν περνάμε από τα πολλά στο 1, πολλαπλασιάζουμε. Όταν περνάμε από το 1 σε άλλο πλήθος, διαιρούμε.

Παράδειγμα: 3 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 20 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα το τελειώσουν 10 εργάτες;

Οι 3 εργάτες τελειώνουν το έργο σε 20 ημέρες.
Ο 1 εργάτης, μόνος του, θα χρειαζόταν $20 \times 3 = 60$ ημέρες (όσο λιγότεροι οι εργάτες, τόσο περισσότερος χρόνος).
Οι 10 εργάτες θα το τελειώσουν σε $60 \div 10 = 6$ ημέρες.

Παρατήρησε τη λογική: όταν οι εργάτες λιγοστεύουν, οι μέρες αυξάνονται (πολλαπλασιασμός)· όταν οι εργάτες αυξάνονται, οι μέρες μειώνονται (διαίρεση).

Δεύτερος τρόπος: πίνακας και ίσα γινόμενα 📝

Η δεύτερη μέθοδος στηρίζεται σε αυτό που ήδη ξέρουμε: σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών είναι πάντα ίσα. Δουλεύουμε σε τέσσερα βήματα:

Φτιάχνουμε έναν πίνακα με τα δύο ποσά και τις τιμές τους.
Ελέγχουμε ότι τα ποσά είναι πράγματι αντιστρόφως ανάλογα.
Ονομάζουμε την άγνωστη τιμή $x$ .
Σχηματίζουμε την εξίσωση των ίσων γινομένων και τη λύνουμε.

Το ίδιο παράδειγμα με πίνακα:

ΠΟΣΑ	1η τιμή	2η τιμή
Αριθμός εργατών	3	10
Ημέρες εργασίας	20	$x$

Τα ποσά «αριθμός εργατών» και «ημέρες εργασίας» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί όσο περισσότεροι οι εργάτες, τόσο λιγότερες οι μέρες που χρειάζονται. Άρα τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών είναι ίσα:

10 \times x = 20 \times 3

10 \times x = 60 \implies x = 60 \div 10 = 6 \text{ ημέρες}

Και οι δύο μέθοδοι δίνουν φυσικά το ίδιο αποτέλεσμα — απλώς οργανώνουν τη σκέψη με διαφορετικό τρόπο.

Πρόσεξε το λάθος!

Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά δεν ισχύει ότι οι λόγοι είναι ίσοι, όπως συμβαίνει στα ανάλογα ποσά. Εδώ ίσα είναι τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών, όχι οι λόγοι τους. Μην μπερδεύεις τους δύο κανόνες!

Ένα πρόβλημα βήμα-βήμα: η κατασκήνωση 🏕️

Σε μια κατασκήνωση υπολογίστηκαν παγωτά ώστε να επαρκούν για 15 παιδιά, από 1 παγωτό την ημέρα το καθένα, για 20 ημέρες. Τελικά όμως πήγαν 25 παιδιά. Για πόσες ημέρες θα φτάσουν τα παγωτά;

Με αναγωγή στη μονάδα: Αν όλα τα παγωτά τα έτρωγε 1 μόνο παιδί, θα του έφταναν για $15 \times 20 = 300$ ημέρες (γιατί θα τα μοιραζόταν με κανέναν άλλον). Αφού όμως είναι 25 παιδιά που μοιράζονται τα ίδια παγωτά, θα έχουν παγωτό για $300 \div 25 = 12$ ημέρες.

Με πίνακα:

ΠΟΣΑ	1η τιμή	2η τιμή
Αριθμός παιδιών	15	25
Ημέρες επάρκειας	20	$x$

Ο αριθμός παιδιών και οι ημέρες επάρκειας είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά (περισσότερα παιδιά σημαίνει λιγότερες μέρες επάρκειας). Άρα:

25 \times x = 15 \times 20

25 \times x = 300 \implies x = 300 \div 25 = 12 \text{ ημέρες}

Και οι δύο τρόποι επιβεβαιώνουν το ίδιο αποτέλεσμα: 12 ημέρες.

Ακόμα ένα παράδειγμα: τα λεωφορεία 🚌

12 λεωφορεία μεταφέρουν μαθητές κάνοντας 2 δρομολόγια το καθένα. Αν χαλάσουν 4 λεωφορεία και μείνουν μόνο 8, πόσα δρομολόγια θα χρειαστεί να κάνει το καθένα;

Με αναγωγή στη μονάδα: Αν όλη τη δουλειά την έκανε 1 λεωφορείο, θα χρειαζόταν $12 \times 2 = 24$ δρομολόγια. Με 8 λεωφορεία, ο καθένας θα κάνει $24 \div 8 = 3$ δρομολόγια.

Με πίνακα:

ΠΟΣΑ	1η τιμή	2η τιμή
Αριθμός λεωφορείων	12	8
Δρομολόγια	2	$x$

8 \times x = 12 \times 2 = 24 \implies x = 24 \div 8 = 3 \text{ δρομολόγια}

Το ξέρεις;

Η ιδέα των αντιστρόφως ανάλογων ποσών κρύβεται παντού γύρω μας: όσο περισσότεροι εργάτες χτίζουν ένα σπίτι, τόσο λιγότερος χρόνος χρειάζεται· όσο περισσότερα άτομα μοιράζονται μια πίτσα, τόσο μικρότερο είναι το κομμάτι του καθενός. Είναι μια σχέση που τη συναντάμε καθημερινά, χωρίς να το προσέχουμε!

Πώς αναγνωρίζω ποιος τρόπος ταιριάζει; 🤔

Πριν λύσεις οποιοδήποτε πρόβλημα, ρώτησε τον εαυτό σου: «Όταν το ένα ποσό μεγαλώνει, το άλλο μεγαλώνει ή μικραίνει;»

Αν μεγαλώνουν ή μικραίνουν μαζί, τα ποσά είναι ανάλογα και οι λόγοι τους είναι ίσοι.
Αν το ένα μεγαλώνει ενώ το άλλο μικραίνει, τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και τα γινόμενά τους είναι ίσα.

Πρόσεξε!

Πριν σχηματίσεις την εξίσωση, έλεγξε πάντα αν τα ποσά είναι πράγματι αντιστρόφως ανάλογα. Αν χρησιμοποιήσεις τη μέθοδο των ίσων γινομένων σε ποσά που στην πραγματικότητα είναι ανάλογα, το αποτέλεσμα θα είναι λάθος!

Τι κρατάμε 🎯

Σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, όταν το ένα μεγαλώνει, το άλλο μικραίνει, και το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό.
Αναγωγή στη μονάδα: βρίσκω πρώτα την τιμή για 1 μονάδα (πολλαπλασιάζοντας), και μετά υπολογίζω αυτό που ζητάω (διαιρώντας).
Μέθοδος ίσων γινομένων: φτιάχνω πίνακα ποσών-τιμών, ονομάζω την άγνωστη τιμή $x$ και λύνω την εξίσωση των ίσων γινομένων.
Πριν διαλέξω μέθοδο, ελέγχω πάντα αν τα ποσά είναι όντως αντιστρόφως ανάλογα, ρωτώντας αν το ένα μεγαλώνει όταν το άλλο μικραίνει.
Και οι δύο μέθοδοι οδηγούν πάντα στο ίδιο σωστό αποτέλεσμα.