Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 🔄

Μέχρι τώρα έμαθες ότι υπάρχουν ποσά που, όταν το ένα μεγαλώνει, μεγαλώνει και το άλλο —αυτά είναι τα ανάλογα ποσά. Σήμερα θα γνωρίσεις μια διαφορετική, εξίσου σημαντική σχέση ανάμεσα σε δύο ποσά: όταν το ένα μεγαλώνει, το άλλο μικραίνει.

Μια δουλειά, περισσότερα χέρια 👷

Φαντάσου ότι ένα σχολείο χρειάζεται να βαφτεί πριν ανοίξουν τα μαθήματα. Αν δουλέψει μόνος του ένας μπογιατζής, χρειάζεται 12 ημέρες για να τελειώσει όλη τη δουλειά. Όσο πιο πολλοί εργάτες αναλάβουν μαζί το ίδιο έργο, τόσο λιγότερες ημέρες θα χρειαστούν, αφού η δουλειά μοιράζεται σε περισσότερα χέρια.

Αριθμός εργατών 👷	1	2	3	4
Ημέρες εργασίας 📅	12	6	4	3

Παρατήρησε τι συμβαίνει: όταν οι εργάτες διπλασιάζονται (από 1 σε 2), οι ημέρες γίνονται οι μισές (από 12 σε 6). Όταν οι εργάτες γίνονται τετραπλάσιοι (από 1 σε 4), οι ημέρες γίνονται το ένα τέταρτο (από 12 σε 3). Το ένα ποσό μεγαλώνει ακριβώς όσο μικραίνει το άλλο.

Αν πολλαπλασιάσεις κάθε ζευγάρι τιμών, θα δεις κάτι αξιοσημείωτο:

1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 4 \times 3 = 12

Το γινόμενο είναι πάντα το ίδιο, 12. Αυτό δεν είναι σύμπτωση —είναι ο κανόνας που κρύβεται πίσω από αυτού του είδους τα ποσά.

Ο ορισμός 📖

Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά λέγονται δύο ποσά στα οποία, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.

Ισοδύναμα, μπορείς να το θυμάσαι έτσι:

Ο χρυσός κανόνας

Σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών τους είναι πάντα ίσα με έναν σταθερό αριθμό. Αν πολλαπλασιάσεις οποιοδήποτε ζευγάρι αντίστοιχων τιμών, θα πάρεις πάντα το ίδιο αποτέλεσμα.

Ένα δεύτερο παράδειγμα: το χρηματικό έπαθλο 🎟️

Έστω ότι μια κλήρωση μοιράζει σε νικητές το ποσό των 60.000 €. Όσο περισσότεροι είναι οι νικητές, τόσο λιγότερα χρήματα παίρνει ο καθένας, αφού το συνολικό ποσό μένει σταθερό και μοιράζεται σε περισσότερα άτομα.

Αριθμός νικητών 🎟️	1	2	3	4
Κέρδη σε € 💰	60.000	30.000	20.000	15.000

Ελέγχεις εύκολα ότι το γινόμενο είναι σταθερό:

1 \times 60.000 = 2 \times 30.000 = 3 \times 20.000 = 4 \times 15.000 = 60.000

Αν θέλεις να βρεις πόσα θα πάρει ο καθένας όταν οι νικητές είναι, ας πούμε, 5, αρκεί να διαιρέσεις το σταθερό γινόμενο με το 5: $60.000 \div 5 = 12.000$ €.

Πώς αναγνωρίζεις αντιστρόφως ανάλογα ποσά 🔍

Το πιο σίγουρο τεστ είναι αυτό: φαντάσου ότι διπλασιάζεις την τιμή του ενός ποσού. Αν η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού γίνεται η μισή, τότε τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Δες μερικά ζευγάρια ποσών και σκέψου τη σχέση τους:

Ταχύτητα ενός αυτοκινήτου και χρόνος διαδρομής: αν διπλασιάσεις την ταχύτητα, ο χρόνος που χρειάζεται για να διανύσεις την ίδια απόσταση γίνεται ο μισός. Είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Αριθμός εργατών και ημέρες εργασίας για το ίδιο έργο: όπως είδες παραπάνω, είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Κιλά ενός προϊόντος και αξία σε ευρώ: αν αγοράσεις διπλάσια κιλά, θα πληρώσεις διπλάσιο ποσό —όχι το μισό. Αυτά τα δύο ποσά είναι ανάλογα, όχι αντιστρόφως ανάλογα.
Άτομα και ποσότητα φαγητού που καταναλώνουν: περισσότερα άτομα σημαίνει περισσότερο φαγητό, όχι λιγότερο. Ούτε αυτά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Προσοχή στη σύγχυση

Δεν είναι κάθε ζευγάρι ποσών όπου το ένα μειώνεται όσο το άλλο αυξάνεται απαραίτητα αντιστρόφως ανάλογο. Ο μόνος σίγουρος τρόπος επιβεβαίωσης είναι να ελέγξεις αν τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών παραμένουν πραγματικά σταθερά. Αν το γινόμενο αλλάζει, τα ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα, ακόμα κι αν το ένα φαίνεται να μικραίνει όταν το άλλο μεγαλώνει.

Η ίδια λογική δουλεύει και αντίστροφα: αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε γνωρίζοντας μία μόνο πλήρη στήλη τιμών (μία τιμή του πρώτου ποσού και η αντίστοιχή της στο δεύτερο) μπορείς να υπολογίσεις οποιαδήποτε άλλη τιμή, χωρίς να χρειάζεσαι όλο τον πίνακα.

Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά 🧮

Ας δούμε ένα ολοκληρωμένο παράδειγμα. Μια εταιρεία χρειάζεται να ετοιμάσει 360 κάρτες. Μία υπάλληλος μόνη της χρειάζεται 12 ημέρες για να τις ετοιμάσει όλες. Πόσοι υπάλληλοι χρειάζονται ώστε η δουλειά να ολοκληρωθεί σε μόλις 3 ημέρες;

Βήμα 1: Αναγνωρίζω τα δύο ποσά: αριθμός υπαλλήλων και αριθμός ημερών.

Βήμα 2: Σκέφτομαι τη σχέση τους: όσο περισσότεροι υπάλληλοι δουλεύουν μαζί, τόσο λιγότερες ημέρες χρειάζονται. Άρα είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

Βήμα 3: Φτιάχνω τον πίνακα και χρησιμοποιώ το σταθερό γινόμενο $1 \times 12 = 12$ :

Αριθμός υπαλλήλων 🧑‍💼	1	2	3	4
Αριθμός ημερών 🕒	12	6	4	3

Βήμα 4: Διαβάζω την απάντηση από τον πίνακα: για να ολοκληρωθεί η δουλειά σε 3 ημέρες, χρειάζονται 4 υπάλληλοι.

Ο ίδιος τρόπος σκέψης δουλεύει σε κάθε πρόβλημα αντιστρόφως ανάλογων ποσών: βρίσκεις το σταθερό γινόμενο από ένα γνωστό ζευγάρι τιμών, και μετά το χρησιμοποιείς για να υπολογίσεις οποιαδήποτε άλλη τιμή θέλεις, διαιρώντας το σταθερό γινόμενο με τη γνωστή τιμή.

Τι κρατάμε 🎯

Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα (ή αντίστροφα) όταν, πολλαπλασιάζοντας την τιμή του ενός με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.
Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι πάντα σταθερό.
Για να ελέγξεις αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, πολλαπλασίασε αντίστοιχες τιμές τους — αν το αποτέλεσμα είναι πάντα το ίδιο, είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Παραδείγματα: αριθμός εργατών – ημέρες εργασίας, ταχύτητα – χρόνος διαδρομής.
Για να λύσεις ένα πρόβλημα, βρες πρώτα το σταθερό γινόμενο από ένα γνωστό ζευγάρι τιμών, και μετά διαίρεσέ το με όποια τιμή χρειάζεσαι για να βρεις την αντίστοιχή της.