Ανάλογα Ποσά 📈

Μέχρι τώρα έμαθες τι είναι ο λόγος δύο αριθμών. Τώρα θα δεις τι συμβαίνει όταν δύο ποσά αλλάζουν μαζί, με έναν πολύ συγκεκριμένο τρόπο.

Ένα παράδειγμα για να ξεκινήσουμε 🥤

Σε ένα κυλικείο, ένα κουτί χυμό κοστίζει 2 €. Ας δούμε τι γίνεται όσο αγοράζουμε περισσότερα κουτιά.

Παρατήρησε: όσα κουτιά κι αν πάρουμε, η αξία τους προκύπτει πάντα αν πολλαπλασιάσουμε την ποσότητα επί 2. Αν σχηματίσουμε τον λόγο «αξία προς ποσότητα» για κάθε στήλη, παίρνουμε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα:

Αυτό δεν είναι τυχαίο. Όταν δύο ποσά συμπεριφέρονται έτσι, τα λέμε ανάλογα.

Ο ορισμός 📏

Δες κι ένα δεύτερο παράδειγμα: ένα υφασμα κοστίζει 5 € το μέτρο.

Κάθε τιμή της δεύτερης γραμμής προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την αντίστοιχη τιμή της πρώτης γραμμής επί 5. Ο λόγος «αξία προς μήκος» είναι πάντα ο ίδιος:

Αυτός ο σταθερός αριθμός (εδώ το 2 στον χυμό, το 5 στο ύφασμα) λέγεται και σταθερά αναλογίας: είναι ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε πάντα τη μια στήλη για να βρούμε την άλλη.

Πώς αναγνωρίζω αν δύο ποσά είναι ανάλογα; 🔍

Ο πιο εύκολος τρόπος είναι να ελέγξεις: όταν διπλασιάζεται η μια τιμή, διπλασιάζεται και η άλλη; Όταν τριπλασιάζεται η μια, τριπλασιάζεται και η άλλη;

Παράδειγμα: ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα 80 χιλιόμετρα την ώρα.

Όταν ο χρόνος διπλασιάζεται (από 1 σε 2 ώρες), διπλασιάζεται και η απόσταση (από 80 σε 160 χλμ). Όταν ο χρόνος τριπλασιάζεται (3 ώρες), τριπλασιάζεται και η απόσταση (240 χλμ). Άρα τα δύο ποσά είναι ανάλογα, με σταθερά αναλογίας το 80.

Αντίθετα, όχι όλα τα ποσά που «μεγαλώνουν μαζί» είναι ανάλογα.

Δοκίμασέ το: ποια ζευγάρια είναι ανάλογα; 🧐

Σκέψου τα παρακάτω ζευγάρια ποσών:

• Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του: ανάλογα, γιατί η περίμετρος προκύπτει πάντα πολλαπλασιάζοντας την πλευρά επί 4. Αν διπλασιαστεί η πλευρά, διπλασιάζεται και η περίμετρος.
• Η ποσότητα ενός προϊόντος και η χρηματική του αξία: ανάλογα, αφού η αξία προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την ποσότητα επί τη σταθερή τιμή της μονάδας (π.χ. την τιμή του ενός τεμαχίου).
• Τα χρήματα που κερδίζουμε και τα χρήματα που ξοδεύουμε: δεν είναι ανάλογα, αφού δεν υπάρχει κανένας σταθερός αριθμός που να τα συνδέει πάντα — μπορεί κάποιος να κερδίζει πολλά και να ξοδεύει λίγα, ή το αντίστροφο.
• Η ώρα της ημέρας και η θερμοκρασία: δεν είναι ανάλογα, γιατί η θερμοκρασία δεν πολλαπλασιάζεται με σταθερό αριθμό καθώς περνούν οι ώρες.

Πώς λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά 🧮

Αν ξέρουμε ότι δύο ποσά είναι ανάλογα, μπορούμε να βρούμε άγνωστες τιμές φτιάχνοντας έναν πίνακα και κρατώντας τους λόγους ίσους.

Παράδειγμα: Ένας μαθητής διαβάζει 3 σελίδες σε 5 λεπτά, με σταθερό ρυθμό. Πόσα λεπτά χρειάζεται για 15 σελίδες;

Επειδή ο ρυθμός ανάγνωσης είναι σταθερός, τα δύο ποσά (σελίδες - λεπτά) είναι ανάλογα. Παρατηρούμε ότι το 15 προκύπτει από το 3 πολλαπλασιασμένο επί 5. Άρα πολλαπλασιάζουμε και τα λεπτά επί 5:

Μπορούμε να το επιβεβαιώσουμε ελέγχοντας ότι οι λόγοι είναι ίσοι:

Αυτή η μέθοδος — να βρίσκουμε με πόσο πολλαπλασιάστηκε η μία στήλη και να πολλαπλασιάζουμε με το ίδιο και την άλλη — είναι το βασικό εργαλείο για να λύνουμε προβλήματα με ανάλογα ποσά.

Τι κρατάμε 🎯

• Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν οι τιμές του ενός προκύπτουν από τις τιμές του άλλου πολλαπλασιάζοντας πάντα με τον ίδιο σταθερό αριθμό (τη σταθερά αναλογίας).
• Στα ανάλογα ποσά, ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους είναι πάντα ίσος.
• Έλεγχος: αν διπλασιάσω/τριπλασιάσω τη μία τιμή, πρέπει να διπλασιάζεται/τριπλασιάζεται και η άλλη.
• Δύο ποσά μπορεί να «αυξάνονται μαζί» χωρίς να είναι ανάλογα (π.χ. ηλικία και ύψος) — πρόσεχε να μην τα μπερδεύεις.
• Για να λύσουμε προβλήματα με ανάλογα ποσά, βρίσκουμε τον πολλαπλασιαστή που συνδέει δύο γνωστές τιμές και τον εφαρμόζουμε και στην άγνωστη.