Από τους λόγους στις αναλογίες ⚖️

Ξέρουμε ήδη τι είναι ένας λόγος δύο αριθμών. Τώρα θα μάθουμε τι συμβαίνει όταν συγκρίνουμε δύο λόγους μεταξύ τους — και θα ανακαλύψουμε ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο: την αναλογία.

Τι είναι η αναλογία 🤝

Φαντάσου δύο σοκολάτες. Η πρώτη ζυγίζει 50 γραμμάρια και δίνει 250 θερμίδες. Η δεύτερη ζυγίζει 100 γραμμάρια και δίνει 500 θερμίδες. Ας φτιάξουμε τον λόγο θερμίδων προς γραμμάρια για κάθε σοκολάτα:

\frac{250}{50} = 5 \quad \text{και} \quad \frac{500}{100} = 5

Και οι δύο λόγοι είναι ίσοι με το 5! Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο σοκολάτες έχουν την ίδια θερμιδική αξία ανά γραμμάριο, δηλαδή είναι «το ίδιο γλυκές» σε αναλογία με το βάρος τους.

Όταν συγκρίνουμε δύο λόγους και διαπιστώνουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους, λέμε ότι σχηματίζουν μια αναλογία.

\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}

Για να φτιάξουμε μια αναλογία από έναν λόγο, αρκεί να δημιουργήσουμε έναν δεύτερο λόγο ίσο με τον πρώτο — ακριβώς όπως κάνουμε με τα ισοδύναμα κλάσματα, πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό.

Για παράδειγμα, αν σε μια συνταγή ροφήματος χρειαζόμαστε 1 κουταλιά κακάο και 2 κουταλιές ζάχαρη για κάθε 1 κούπα γάλα, ο λόγος κακάο προς γάλα είναι $\frac{1}{1}$ . Αν θέλουμε να φτιάξουμε το ρόφημα για 3 κούπες γάλα διατηρώντας την ίδια γεύση, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με το 3: $\frac{1}{1} = \frac{3}{3}$ . Άρα θα χρειαστούμε 3 κουταλιές κακάο για τις 3 κούπες γάλα — η αναλογία μένει η ίδια.

Το ξέρεις;

Η λέξη «αναλογία» τη χρησιμοποιούμε καθημερινά χωρίς να το καταλαβαίνουμε! Όταν λέμε ότι μια φωτογραφία «μεγεθύνθηκε αναλογικά», εννοούμε ότι το μήκος και το πλάτος της πολλαπλασιάστηκαν με τον ίδιο αριθμό — έτσι ώστε ο λόγος μήκος προς πλάτος να παραμείνει ίδιος και η εικόνα να μη «στραβώσει».

Πώς ελέγχουμε αν δύο λόγοι σχηματίζουν αναλογία: τα σταυρωτά γινόμενα ✖️

Υπάρχει ένας γρήγορος τρόπος να ελέγξουμε αν δύο λόγοι είναι ίσοι, χωρίς να κάνουμε απλοποιήσεις. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους χιαστί (σαν σταυρό): τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου, και τον παρονομαστή του πρώτου με τον αριθμητή του δεύτερου. Αν τα δύο γινόμενα που προκύπτουν είναι ίσα, τότε οι λόγοι σχηματίζουν αναλογία.

\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ} \iff α \cdot δ = β \cdot γ

Ας το δούμε στην πράξη με τον λόγο $\frac{4}{6}$ και τον λόγο $\frac{2}{3}$ :

$4 \cdot 3 = 12$
$6 \cdot 2 = 12$

Τα σταυρωτά γινόμενα είναι ίσα (και τα δύο κάνουν 12), άρα $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ και οι δύο λόγοι σχηματίζουν αναλογία.

Ας δοκιμάσουμε και ένα παράδειγμα όπου δεν σχηματίζεται αναλογία: $\frac{5}{9}$ και $\frac{4}{8}$ .

$5 \cdot 8 = 40$
$9 \cdot 4 = 36$

Εδώ τα γινόμενα είναι διαφορετικά (40 και 36), άρα οι δύο λόγοι δεν είναι ίσοι και δεν σχηματίζουν αναλογία.

Πρόσεξε!

Δύο τυχαίοι λόγοι δεν σχηματίζουν πάντα αναλογία! Πρέπει πάντα να ελέγχουμε τα σταυρωτά γινόμενα — αν είναι ίσα, τότε έχουμε αναλογία, αλλιώς όχι. Μην υποθέτεις ποτέ ότι δύο λόγοι είναι ίσοι μόνο επειδή «μοιάζουν».

Βρίσκω τον άγνωστο όρο μιας αναλογίας 🔍

Το πιο χρήσιμο κόλπο με τα σταυρωτά γινόμενα είναι ότι μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε έναν όρο που λείπει από μια αναλογία. Ας δούμε ένα παράδειγμα: γνωρίζουμε ότι $\frac{12}{8} = \frac{9}{χ}$ και θέλουμε να βρούμε το $χ$ .

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και εξισώνουμε τα δύο γινόμενα:

12 \cdot χ = 8 \cdot 9

12 \cdot χ = 72

Για να βρούμε το $χ$ , διαιρούμε το 72 με το 12:

χ = \frac{72}{12} = 6

Άρα $\frac{12}{8} = \frac{9}{6}$ . Μπορούμε να το επαληθεύσουμε: $12 \cdot 6 = 72$ και $8 \cdot 9 = 72$ — ίσα!

Αυτή η μέθοδος είναι πολύ χρήσιμη σε προβλήματα της καθημερινής ζωής. Για παράδειγμα, αν ξέρουμε ότι 3 μήνες σύνδεσης στο διαδίκτυο κοστίζουν 27€, πόσο θα κοστίσουν 12 μήνες με τον ίδιο ρυθμό; Φτιάχνουμε την αναλογία:

\frac{3}{27} = \frac{12}{χ}

3 \cdot χ = 27 \cdot 12 = 324

χ = \frac{324}{3} = 108

Άρα οι 12 μήνες θα κοστίσουν 108€.

Πίνακες τιμών και αναλογία 📊

Πολλές φορές συναντάμε πίνακες που συνδέουν δύο μεγέθη, όπως το βάρος μιας σοκολάτας και τις θερμίδες της:

Βάρος (γρ.)	1	2	3	4	5
Θερμίδες	5	10	15	20	25

Αν σχηματίσουμε τον λόγο θερμίδες προς βάρος για κάθε στήλη, βλέπουμε ότι είναι πάντα ίσος με το 5: $\frac{5}{1} = \frac{10}{2} = \frac{15}{3} = \frac{20}{4} = \frac{25}{5} = 5$ . Όλοι αυτοί οι λόγοι σχηματίζουν αναλογίες μεταξύ τους, γιατί κάθε αριθμός της δεύτερης γραμμής προκύπτει από τον αντίστοιχο της πρώτης πολλαπλασιασμένο πάντα με τον ίδιο αριθμό (εδώ με το 5). Αυτή η σταθερή σχέση είναι το «κλειδί» που κρατά όλους τους λόγους ίσους.

Τι κρατάμε 🎯

Αναλογία έχουμε όταν δύο λόγοι είναι ίσοι μεταξύ τους: $\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}$ .
Για να φτιάξουμε αναλογία από έναν λόγο, πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τους δύο όρους του με τον ίδιο αριθμό.
Σταυρωτά γινόμενα: σε μια αναλογία $\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}$ ισχύει πάντα $α \cdot δ = β \cdot γ$ . Αν τα σταυρωτά γινόμενα είναι ίσα, οι λόγοι σχηματίζουν αναλογία· αν όχι, δεν σχηματίζουν.
Χρησιμοποιούμε τα σταυρωτά γινόμενα για να βρίσκουμε έναν άγνωστο όρο $χ$ σε μια αναλογία, λύνοντας μια απλή εξίσωση.
Σε πίνακες τιμών με σταθερή αναλογία, όλοι οι λόγοι στηλών είναι μεταξύ τους ίσοι.