Από τους Λόγους στις Αναλογίες ⚖️

Ξέρουμε ήδη τι είναι ένας λόγος δύο αριθμών. Τώρα θα μάθουμε τι γίνεται όταν συγκρίνουμε δύο λόγους μεταξύ τους — και πώς αυτό μας βοηθάει να λύνουμε πραγματικά προβλήματα, όπως να βρούμε πόσο κοστίζει κάτι ή πόση ποσότητα χρειαζόμαστε σε μια συνταγή.

Τι είναι η αναλογία

Φαντάσου έναν φούρναρη που φτιάχνει ψωμί ανακατεύοντας αλεύρι σιταριού με αλεύρι καλαμποκιού. Μια μέρα βάζει 36 κιλά σιταριού με 12 κιλά καλαμποκιού. Την άλλη μέρα, επειδή θέλει να φτιάξει περισσότερο ψωμί, βάζει 54 κιλά σιταριού με 18 κιλά καλαμποκιού.

Οι δύο λόγοι είναι:

\frac{36}{12} \quad \text{και} \quad \frac{54}{18}

Αν τους απλοποιήσουμε, και οι δύο γίνονται $\frac{3}{1}$ . Δηλαδή είναι ίσοι! Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι, λέμε ότι σχηματίζουν μια αναλογία. Το ψωμί έχει ακριβώς την ίδια «γεύση» και τις δύο μέρες, γιατί η σχέση ανάμεσα στα δύο αλεύρια έμεινε ίδια, απλώς οι ποσότητες μεγάλωσαν.

Γενικά:

Ο ορισμός της αναλογίας

Αναλογία είναι η ισότητα δύο ίσων λόγων. Αν ο λόγος $\frac{α}{β}$ είναι ίσος με τον λόγο $\frac{γ}{δ}$ , τότε γράφουμε $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}$ και λέμε ότι οι τέσσερις αριθμοί α, β, γ, δ βρίσκονται σε αναλογία.

Πώς φτιάχνουμε έναν ίσο λόγο

Ο πιο απλός τρόπος να δημιουργήσουμε έναν λόγο ίσο με έναν άλλο είναι να πολλαπλασιάσουμε (ή να διαιρέσουμε) και τους δύο όρους του λόγου με τον ίδιο αριθμό.

Παράδειγμα: ξεκινάμε από τον λόγο $\frac{1}{5}$ . Αν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους με το 2:

\frac{1}{5}=\frac{1\times2}{5\times2}=\frac{2}{10}

Άρα $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$ : οι δύο λόγοι σχηματίζουν αναλογία. Το ίδιο θα συνέβαινε αν διαιρούσαμε και τους δύο όρους ενός λόγου με τον ίδιο αριθμό — θα παίρναμε πάλι έναν ίσο λόγο, απλώς με μικρότερους όρους.

Τα σταυρωτά γινόμενα: το «κόλπο» για να ελέγχουμε αναλογίες

Το να απλοποιούμε κλάσματα για να δούμε αν είναι ίσα είναι μερικές φορές δύσκολο, ειδικά με μεγάλους αριθμούς. Υπάρχει όμως ένας πολύ πιο γρήγορος τρόπος: ο πολλαπλασιασμός χιαστί.

Παίρνουμε δύο λόγους $\frac{α}{β}$ και $\frac{γ}{δ}$ και πολλαπλασιάζουμε «σταυρωτά»: τον αριθμητή του πρώτου με τον παρονομαστή του δεύτερου, και τον παρονομαστή του πρώτου με τον αριθμητή του δεύτερου. Τα δύο γινόμενα που προκύπτουν λέγονται σταυρωτά γινόμενα.

Ο κανόνας των σταυρωτών γινομένων

Δύο λόγοι σχηματίζουν αναλογία αν, και μόνο αν, τα σταυρωτά τους γινόμενα είναι ίσα:

\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ} \iff α\times δ = β\times γ

Ας το δούμε σε ένα παράδειγμα με τους λόγους $\frac{4}{6}$ και $\frac{2}{3}$ :

4\times3=12 \qquad\qquad 6\times2=12

Τα δύο γινόμενα είναι ίσα (και τα δύο κάνουν 12), άρα οι δύο λόγοι σχηματίζουν αναλογία: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ .

Ας δοκιμάσουμε τώρα με δύο λόγους που δεν σχηματίζουν αναλογία, όπως $\frac{3}{2}$ και $\frac{2}{3}$ :

3\times3=9 \qquad\qquad 2\times2=4

Εδώ τα γινόμενα είναι διαφορετικά (9 και 4), άρα οι δύο λόγοι δεν είναι ίσοι και δεν σχηματίζουν αναλογία.

Προσοχή στη σειρά!

Το σταυρωτό γινόμενο ενώνει πάντα τον αριθμητή του ενός λόγου με τον παρονομαστή του άλλου — ποτέ δύο αριθμητές μεταξύ τους ή δύο παρονομαστές μεταξύ τους. Και προσοχή: το ότι δύο λόγοι «μοιάζουν» δεν σημαίνει ότι είναι ίσοι. Οι λόγοι $\frac{2}{9}$ και $\frac{9}{2}$ , για παράδειγμα, ΔΕΝ αποτελούν αναλογία, παρόλο που έχουν τους ίδιους αριθμούς — απλώς αντεστραμμένους.

Πώς βρίσκουμε τον άγνωστο όρο μιας αναλογίας

Τα σταυρωτά γινόμενα δεν μας βοηθούν μόνο να ελέγχουμε αν δύο λόγοι είναι ίσοι· μας βοηθούν και να βρίσκουμε έναν άγνωστο όρο, όταν ξέρουμε ότι δύο λόγοι σχηματίζουν αναλογία.

Παράδειγμα: Για να φτιάξουμε μια καρυδόπιτα χρειαζόμαστε 12 αυγά και 8 κούπες ζάχαρη. Αν έχουμε μόνο 9 αυγά, πόσες κούπες ζάχαρη πρέπει να βάλουμε ώστε το γλυκό να έχει την ίδια αναλογία;

Σχηματίζουμε την αναλογία, βάζοντας x στη θέση της άγνωστης ποσότητας ζάχαρης:

\frac{12}{8}=\frac{9}{x}

Εφαρμόζουμε τα σταυρωτά γινόμενα:

12\times x = 8\times9

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στη δεξιά πλευρά:

12\times x = 72

Και λύνουμε βρίσκοντας τι πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 12 για να κάνει 72:

x = 72:12 = 6

Άρα χρειαζόμαστε 6 κούπες ζάχαρη. Παρατήρησε ότι δουλέψαμε πάντα με τα ίδια βήματα: 1) σχηματίζουμε την αναλογία, 2) πολλαπλασιάζουμε χιαστί, 3) κάνουμε την πράξη, 4) λύνουμε βρίσκοντας τον άγνωστο.

Πίνακες ίσων λόγων

Πολλές φορές συναντάμε αναλογίες σε μορφή πίνακα, όπου δύο ποσότητες μεγαλώνουν πάντα με τον ίδιο ρυθμό. Για παράδειγμα, αν 3 μήνες σύνδεσης στο internet κοστίζουν 27 ευρώ, πόσο κοστίζουν 12 μήνες;

Μήνες σύνδεσης	Κόστος (€)
3	27
12	x

Σχηματίζουμε την αναλογία $\frac{3}{27}=\frac{12}{x}$ και εφαρμόζουμε τα σταυρωτά γινόμενα:

3\times x = 27\times12 = 324 \;\Rightarrow\; x = 324:3 = 108

Άρα οι 12 μήνες κοστίζουν 108 ευρώ. Ο πίνακας μάς βοηθάει να βλέπουμε καθαρά ποιες δύο ποσότητες αντιστοιχούν η μία στην άλλη, πριν σχηματίσουμε τους λόγους.

Τι κρατάμε 🎯

Δύο λόγοι που είναι ίσοι σχηματίζουν αναλογία: $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}$ .
Έναν ίσο λόγο τον φτιάχνουμε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό.
Ο πολλαπλασιασμός χιαστί δίνει τα σταυρωτά γινόμενα: αν είναι ίσα ( $α\times δ = β\times γ$ ), οι λόγοι σχηματίζουν αναλογία.
Όταν λείπει ένας όρος μιας αναλογίας, τον βρίσκουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: σχηματίζουμε την ισότητα, πολλαπλασιάζουμε χιαστί και λύνουμε.
Η σειρά των όρων μετράει: $\frac{α}{β}$ και $\frac{β}{α}$ δεν είναι το ίδιο πράγμα, εκτός αν $α=β$ .