Εξισώσεις με άγνωστο μειωτέο ή αφαιρετέο ➖

Ξέρεις ήδη πώς λύνουμε μια εξίσωση όταν ο άγνωστος είναι προσθετέος, δηλαδή σε μια πρόσθεση όπως $x + 5 = 12$ . Τώρα θα μάθεις τι κάνουμε όταν ο άγνωστος βρίσκεται μέσα σε μια αφαίρεση. Εκεί υπάρχουν δύο διαφορετικές περιπτώσεις, και είναι πολύ σημαντικό να τις ξεχωρίζεις.

Θυμήσου πώς λέγονται οι όροι μιας αφαίρεσης:

\text{μειωτέος} - \text{αφαιρετέος} = \text{διαφορά}

Ο μειωτέος είναι ο αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε (ο μεγαλύτερος, αυτός που «μειώνεται»). Ο αφαιρετέος είναι αυτός που αφαιρούμε. Ο άγνωστος μπορεί να βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις δύο αυτές θέσεις.

🟥 Όταν ο άγνωστος είναι ο μειωτέος

Έχουμε μια εξίσωση της μορφής $x - 5 = 12$ . Εδώ ο άγνωστος $x$ είναι ο μειωτέος: κάτι που δεν ξέρουμε, από το οποίο αφαιρέσαμε 5 και μας έμεινε 12.

Για να βρούμε το $x$ , σκεφτόμαστε αντίστροφα: αφού αφαιρώντας 5 από το $x$ πήραμε 12, τότε το $x$ θα προκύψει αν προσθέσουμε στη διαφορά (12) τον αφαιρετέο (5):

x = 12 + 5 \implies x = 17

Ο κανόνας είναι:

Κανόνας για τον μειωτέο

Όταν ο άγνωστος είναι ο μειωτέος, για να λύσουμε την εξίσωση προσθέτουμε στη διαφορά τον αφαιρετέο.

🟦 Όταν ο άγνωστος είναι ο αφαιρετέος

Τώρα δες μια εξίσωση όπως $18 - x = 7$ . Εδώ ξέρουμε τον μειωτέο (18) και τη διαφορά (7), αλλά δεν ξέρουμε τον αφαιρετέο $x$ — αυτό που αφαιρέσαμε.

Για να το βρούμε, σκεφτόμαστε: από το 18 αφαιρέσαμε κάτι και έμεινε 7. Άρα αυτό που αφαιρέσαμε είναι όσο μας λείπει για να φτάσουμε από το 7 στο 18, δηλαδή αφαιρούμε από τον μειωτέο τη διαφορά:

x = 18 - 7 \implies x = 11

Κανόνας για τον αφαιρετέο

Όταν ο άγνωστος είναι ο αφαιρετέος, για να λύσουμε την εξίσωση αφαιρούμε από τον μειωτέο τη διαφορά.

Πρόσεξε ποιος είναι ο άγνωστος!

Το πιο συχνό λάθος είναι να κάνεις πάντα την ίδια πράξη χωρίς να κοιτάξεις πού βρίσκεται το $x$ . Δεν λύνονται όλες οι εξισώσεις της αφαίρεσης με πρόσθεση! Αν ο άγνωστος είναι ο μειωτέος (π.χ. $x - 5 = 12$ ), κάνεις πρόσθεση. Αν είναι ο αφαιρετέος (π.χ. $18 - x = 7$ ), κάνεις αφαίρεση. Κοίτα πρώτα τη θέση του $x$ και μετά αποφάσισε.

Γιατί ισχύει αυτό; Η ζυγαριά που ισορροπεί ⚖️

Μια εξίσωση είναι σαν μια ζυγαριά που ισορροπεί: ό,τι κάνουμε στη μία πλευρά, πρέπει να το κάνουμε και στην άλλη, ώστε η ισορροπία να μη χαλάσει.

Πάρε την εξίσωση $x - 4 = 10$ . Αν προσθέσουμε 4 και στις δύο πλευρές, η ζυγαριά συνεχίζει να ισορροπεί:

x - 4 + 4 = 10 + 4

Στο αριστερό μέρος, το $-4$ και το $+4$ αλληλοαναιρούνται, οπότε μένει μόνο το $x$ . Άρα:

x = 10 + 4 = 14

Αυτός είναι ο λόγος που, όταν ο άγνωστος είναι μειωτέος, «προσθέτουμε στη διαφορά τον αφαιρετέο»: στην πραγματικότητα προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέρη της εξίσωσης, για να απομείνει μόνος του ο άγνωστος.

Σχηματίζω και λύνω μια εξίσωση από ένα πρόβλημα 💶

Ας δούμε ένα πρόβλημα βήμα-βήμα. Μια μαθήτρια πήρε κάποια χρήματα από το πορτοφόλι της. Αγόρασε δύο πράγματα που κόστισαν συνολικά 6,40 €, και μετά διαπίστωσε πως της είχαν μείνει 2,30 €. Πόσα χρήματα είχε πάρει αρχικά;

Βήμα 1 — Ονομάζω τον άγνωστο. Ας πούμε ότι τα αρχικά χρήματα είναι $x$ .

Βήμα 2 — Σχηματίζω την εξίσωση. Αν από τα $x$ αφαιρέσουμε όσα ξόδεψε (6,40 €), μας μένουν 2,30 €:

x - 6{,}40 = 2{,}30

Βήμα 3 — Λύνω. Ο άγνωστος είναι ο μειωτέος, άρα προσθέτω στη διαφορά τον αφαιρετέο:

x = 2{,}30 + 6{,}40 = 8{,}70

Βήμα 4 — Επαληθεύω. Αντικαθιστώ το $x$ με 8,70 στην αρχική εξίσωση: $8{,}70 - 6{,}40 = 2{,}30$ . Ισχύει, άρα η λύση είναι σωστή. Η μαθήτρια είχε πάρει 8,70 €.

Ας δούμε τώρα μια περίπτωση όπου ο άγνωστος είναι ο αφαιρετέος. Ένα αγόρι ξεκίνησε με 1,20 € στην τσέπη του. Στον δρόμο του έπεσαν κάποια χρήματα και έφτασε με 0,85 €. Πόσα χρήματα του έπεσαν;

Ονομάζω $λ$ τα χρήματα που έπεσαν. Η εξίσωση είναι:

1{,}20 - λ = 0{,}85

Εδώ ο άγνωστος $λ$ είναι ο αφαιρετέος, άρα αφαιρώ από τον μειωτέο τη διαφορά:

λ = 1{,}20 - 0{,}85 = 0{,}35

Επαλήθευση: $1{,}20 - 0{,}35 = 0{,}85$ . Σωστό! Του έπεσαν 35 λεπτά.

Ένα πρόβλημα με δύο τρόπους σκέψης

Στο ίδιο πρόβλημα με τα 8,70 €, θα μπορούσαμε να γράψουμε την εξίσωση και διαφορετικά, αν ξέραμε από την αρχή πόσα της έμειναν και πόσα ξόδεψε:

x - 2{,}30 = 6{,}40

Εδώ ο άγνωστος $x$ είναι πάλι ο μειωτέος, οπότε ξανά προσθέτουμε: $x = 6{,}40 + 2{,}30 = 8{,}70$ . Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, γιατί περιγράφει την ίδια πραγματική κατάσταση — απλώς οργανώνουμε τους αριθμούς με διαφορετικό τρόπο. Αυτό δείχνει πόσο χρήσιμο είναι να καταλαβαίνεις τι σημαίνει η εξίσωση, όχι μόνο πώς τη λύνεις μηχανικά.

Μορφή εξίσωσης	Ποιος είναι ο άγνωστος;	Πράξη που κάνω	Παράδειγμα
$x - α = β$	Μειωτέος	Πρόσθεση: $x = β + α$	$x - 5 = 12 \Rightarrow x = 17$
$α - x = β$	Αφαιρετέος	Αφαίρεση: $x = α - β$	$18 - x = 7 \Rightarrow x = 11$

Τι κρατάμε 🎯

Σε μια αφαίρεση, ο μειωτέος είναι ο αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε, ο αφαιρετέος αυτός που αφαιρούμε, και το αποτέλεσμα είναι η διαφορά.
Αν ο άγνωστος είναι ο μειωτέος ( $x - α = β$ ), λύνουμε με πρόσθεση: $x = β + α$ .
Αν ο άγνωστος είναι ο αφαιρετέος ( $α - x = β$ ), λύνουμε με αφαίρεση: $x = α - β$ .
Ο λόγος που δουλεύει αυτό είναι η ισορροπία της εξίσωσης: ό,τι προσθέτουμε ή αφαιρούμε σε μία πλευρά, πρέπει να το κάνουμε και στην άλλη.
Πριν λύσεις, κοίτα πάντα πού βρίσκεται ο άγνωστος — δεν λύνονται όλες οι εξισώσεις με τον ίδιο τρόπο.
Πάντα επαληθεύουμε τη λύση, αντικαθιστώντας τον άγνωστο με την τιμή που βρήκαμε.