Η εξίσωση σαν ζυγαριά που ισορροπεί ⚖️

Φαντάσου μια ζυγαριά με δύο δίσκους. Όταν και στους δύο δίσκους υπάρχει το ίδιο βάρος, η ζυγαριά είναι ισορροπημένη: μένει οριζόντια, χωρίς να γέρνει πουθενά. Ακριβώς αυτή την εικόνα περιγράφει μια εξίσωση στα μαθηματικά.

Μια εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό. Τον άγνωστο τον συμβολίζουμε με ένα γράμμα, συνήθως $x$, $α$ ή $ψ$. Για παράδειγμα:

Η αριστερή πλευρά ($x + 5$) και η δεξιά πλευρά ($12$) είναι σαν οι δύο δίσκοι της ζυγαριάς: πρέπει να έχουν πάντα την ίδια τιμή, να «ζυγίζουν» δηλαδή το ίδιο.

Τι σημαίνει «λύνω» μια εξίσωση

Να λύσουμε μια εξίσωση σημαίνει να βρούμε ποιος αριθμός πρέπει να πάρει τη θέση του γράμματος, ώστε η ισότητα να γίνει αληθινή. Αυτός ο αριθμός λέγεται λύση της εξίσωσης.

Στο παράδειγμα $x + 5 = 12$, αν βάλουμε στη θέση του $x$ τον αριθμό 7, παίρνουμε:

Η ισότητα αυτή είναι σωστή, άρα η λύση της εξίσωσης είναι $x = 7$. Λέμε ότι το 7 επαληθεύει την εξίσωση, δηλαδή την κάνει αληθινή.

Όταν ο άγνωστος είναι προσθετέος

Σε πολλές εξισώσεις ο άγνωστος βρίσκεται μέσα σε μια πρόσθεση, δηλαδή είναι ένας προσθετέος. Για να τον βρούμε, χρησιμοποιούμε ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο: τις αντίστροφες πράξεις.

Δύο ενέργειες λέγονται αντίστροφες όταν η μία αναιρεί το αποτέλεσμα της άλλης. Το ανέβασμα αναιρείται με το κατέβασμα, το άνοιγμα με το κλείσιμο. Στα μαθηματικά, η πράξη που αναιρεί την πρόσθεση είναι η αφαίρεση.

Αν $5 + 3 = 8$, τότε ισχύουν και οι αντίστροφες σχέσεις:

Αυτό σημαίνει ότι, όταν ο άγνωστος είναι προσθετέος, αφαιρούμε από το άθροισμα τον άλλο προσθετέο για να τον βρούμε. Στο παράδειγμά μας:

Πώς σχηματίζουμε μια εξίσωση από ένα πρόβλημα

Πολλά προβλήματα μπορούν να λυθούν πιο εύκολα αν τα μετατρέψουμε σε εξίσωση. Τα βήματα είναι πάντα τα ίδια:

1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα και εντοπίζουμε ποιο ποσό δεν γνωρίζουμε.
2. Ονομάζουμε αυτό το άγνωστο ποσό με ένα γράμμα.
3. Γράφουμε την εξίσωση, χρησιμοποιώντας τα ποσά που ήδη γνωρίζουμε.
4. Λύνουμε την εξίσωση με αφαίρεση, αφού ο άγνωστος είναι προσθετέος.

Ας δούμε ένα παράδειγμα: Ένας μαθητής είχε κάποια χρήματα στην τσέπη του. Στον δρόμο βρήκε ακόμη 0,23 € και όταν τα μέτρησε είχε συνολικά 1,13 €. Πόσα χρήματα είχε στην αρχή;

• Ονομάζουμε $α$ τα χρήματα που είχε στην αρχή.
• Η εξίσωση που περιγράφει την κατάσταση είναι:

• Αφού ο $α$ είναι προσθετέος, αφαιρούμε από το άθροισμα τον άλλο προσθετέο:

Άρα ο μαθητής είχε στην αρχή $0,90$ €.

Ένα ακόμη παράδειγμα με τη ζυγαριά

Σε μια ζυγαριά με δύο δίσκους βάζουμε σε έναν δίσκο βάρος 45 γραμμαρίων και στον άλλο 115 γραμμάρια. Θέλουμε να βρούμε πόσο βάρος πρέπει να προσθέσουμε στον πρώτο δίσκο, ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει.

• Ονομάζουμε $x$ το βάρος που πρέπει να προσθέσουμε.
• Για να ισορροπήσει η ζυγαριά, τα δύο μέρη πρέπει να γίνουν ίσα, άρα η εξίσωση είναι:

• Λύνουμε αφαιρώντας:

Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε 70 γραμμάρια, ώστε οι δύο δίσκοι να ζυγίζουν το ίδιο και η ζυγαριά να ισορροπήσει.

Πώς ελέγχουμε αν βρήκαμε τη σωστή λύση

Αφού βρούμε μια πιθανή λύση, μπορούμε πάντα να την ελέγξουμε: αντικαθιστούμε τον αριθμό στη θέση του αγνώστου και βλέπουμε αν η ισότητα ισχύει. Αν ισχύει, βρήκαμε τη σωστή λύση· αν όχι, κάπου κάναμε λάθος και πρέπει να ξαναδούμε τους υπολογισμούς μας.

Για παράδειγμα, στην εξίσωση $16 + κ = 27$ δοκιμάζουμε $κ = 11$:

Η ισότητα ισχύει, άρα $κ = 11$ είναι πράγματι η σωστή λύση.

Τι κρατάμε 🎯

• Μια εξίσωση είναι μια ισότητα με έναν άγνωστο αριθμό, που τον συμβολίζουμε με γράμμα.
• Λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός που, αν πάρει τη θέση του γράμματος, κάνει την ισότητα αληθινή.
• Όταν ο άγνωστος είναι προσθετέος, τον βρίσκουμε αφαιρώντας από το άθροισμα τον άλλο προσθετέο, γιατί η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης.
• Για να σχηματίσουμε μια εξίσωση από ένα πρόβλημα: ονομάζουμε τον άγνωστο με ένα γράμμα, γράφουμε την ισότητα με βάση τα δεδομένα και μετά λύνουμε.
• Η εξίσωση λειτουργεί σαν ζυγαριά: οι δύο πλευρές πρέπει πάντα να παραμένουν ίσες.
• Μπορούμε να ελέγξουμε τη λύση μας αντικαθιστώντας τον αριθμό που βρήκαμε στη θέση του αγνώστου.