Η εξερεύνηση του άγνωστου 🔍

Μέχρι τώρα, στις αριθμητικές παραστάσεις έβλεπες μόνο αριθμούς και πράξεις, όπως $5 + 3$ ή $12 \times 2$ . Από εδώ και πέρα, θα ανακαλύψεις κάτι νέο: παραστάσεις που περιέχουν και γράμματα! Αυτά τα γράμματα δεν μπαίνουν τυχαία· κρατούν τη θέση ενός αριθμού που είτε δεν τον ξέρουμε ακόμα, είτε μπορεί να αλλάζει.

Τι είναι η μεταβλητή 🔤

Ονομάζουμε μεταβλητή ένα γράμμα ή σύμβολο που χρησιμοποιούμε μέσα σε μια αριθμητική παράσταση στη θέση μιας τιμής που δεν γνωρίζουμε ή που αλλάζει. Οποιοδήποτε γράμμα μπορεί να παίξει αυτόν τον ρόλο —συνήθως χρησιμοποιούμε $x$ , $α$ , $μ$ ή όποιο άλλο γράμμα μας βολεύει— και μπορεί να αντικαταστήσει οποιονδήποτε αριθμό.

Ένα κλασικό παράδειγμα είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου. Αν η πλευρά του τετραγώνου έχει μήκος $α$ , τότε το εμβαδόν του είναι

Ε = α^2

Το $α$ εδώ είναι η μεταβλητή: μπορεί να πάρει όποια τιμή θέλουμε (2 εκατοστά, 5 μέτρα, ό,τι αντιστοιχεί στην πλευρά), και κάθε φορά η παράσταση $α^2$ μας δίνει το σωστό εμβαδόν για εκείνη την τιμή.

Μια πανάρχαια ιδέα

Η ιδέα του «άγνωστου» αριθμού δεν είναι καθόλου καινούρια! Ήδη από τη 2η χιλιετία π.Χ., οι κάτοικοι της Μεσοποταμίας έλυναν προβλήματα σαν αυτό: «Βρήκα μια πέτρα. Δεν τη ζύγισα. Αφαίρεσα το ένα έβδομο. Πρόσθεσα το ένα ενδέκατο. Αφαίρεσα το ένα δέκατο τρίτο. Την ζύγισα. Ποιο ήταν το αρχικό βάρος της πέτρας;». Για να λύσουν τέτοια προβλήματα χρειάζονταν ακριβώς αυτό που μαθαίνεις τώρα: να συμβολίζουν με ένα σύμβολο τον άγνωστο αριθμό.

Πώς φτιάχνουμε μια παράσταση με μεταβλητή 🧩

Όταν μια φράση περιγράφει μια σχέση με έναν άγνωστο αριθμό, ακολουθούμε τρία βήματα για να τη μετατρέψουμε σε αριθμητική παράσταση:

Προσδιορίζουμε ποια είναι η άγνωστη ποσότητα.
Επιλέγουμε μια μεταβλητή (ένα γράμμα) για να την παραστήσουμε.
Προσδιορίζουμε τις πράξεις που συνδέουν τη μεταβλητή με τους υπόλοιπους αριθμούς.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Σε ένα πάρτι έφερε γλυκά η Μαρία (7 κομμάτια), ο Γιάννης (5 κομμάτια) και η Ελένη —δεν ξέρουμε πόσα έφερε εκείνη. Θέλουμε να εκφράσουμε το σύνολο των γλυκών με μια αριθμητική παράσταση.

Βήμα 1: Η άγνωστη ποσότητα είναι τα γλυκά της Ελένης.
Βήμα 2: Επιλέγουμε τη μεταβλητή $ε$ για τα γλυκά της Ελένης.
Βήμα 3: Τα γλυκά προστίθενται όλα μαζί, άρα η παράσταση είναι $ε + 7 + 5$ , δηλαδή $ε + 12$ .

Η τιμή αυτής της παράστασης θα μπορέσουμε να την υπολογίσουμε μόνο όταν μάθουμε πόσα γλυκά έφερε πράγματι η Ελένη —δηλαδή όταν μάθουμε την τιμή της μεταβλητής $ε$ .

Πράξεις με μεταβλητές: πώς τις γράφουμε ✍️

Οι μεταβλητές μπαίνουν στις παραστάσεις ακριβώς όπως και οι αριθμοί, με τις ίδιες πράξεις:

Φράση	Παράσταση με μεταβλητή $x$
Ένας αριθμός αυξημένος κατά 12	$x + 12$
Ένας αριθμός μειωμένος κατά 4	$x - 4$
Το τριπλάσιο ενός αριθμού	$3 \times x$
Το μισό ενός αριθμού	$x : 2$

Προσοχή στον πολλαπλασιασμό!

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με μια μεταβλητή, συνήθως παραλείπουμε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού. Έτσι, το $3 \times x$ το γράφουμε πιο σύντομα $3x$ , και το $4 \cdot μ$ το γράφουμε $4μ$ . Οι δύο γραφές σημαίνουν ακριβώς το ίδιο πράγμα — δεν αλλάζει τίποτα στο αποτέλεσμα, αλλάζει μόνο ο τρόπος γραφής.

Μια μεταβλητή περιγράφει μια σχέση 🔗

Οι μεταβλητές δεν εκφράζουν μόνο έναν άγνωστο αριθμό· είναι πολύ χρήσιμες όταν θέλουμε να περιγράψουμε πώς σχετίζονται δύο ποσότητες που αλλάζουν μαζί.

Φαντάσου δύο αδέρφια, τη Σμαρώ και τον Κώστα, που η ηλικία του Κώστα είναι πάντα 4 χρόνια μεγαλύτερη από της Σμαρώς. Αν η Σμαρώ είναι 12 χρονών, ο Κώστας είναι $12 + 4 = 16$ . Αν η Σμαρώ είναι 25, ο Κώστας είναι $25 + 4 = 29$ . Όποια κι αν είναι η ηλικία της Σμαρώς, μπορούμε να την ονομάσουμε $x$ και να πούμε ότι η ηλικία του Κώστα είναι πάντα

x + 4

Αυτή η μία παράσταση περιγράφει τη σχέση για κάθε δυνατή ηλικία της Σμαρώς — δεν χρειάζεται να γράψουμε ξεχωριστή πρόταση για κάθε χρόνο.

Το ίδιο συμβαίνει και όταν μια ποσότητα είναι πάντα πολλαπλάσια μιας άλλης. Αν σχεδιάζουμε σχήματα σε αυξανόμενα μεγέθη και παρατηρούμε ότι ο αριθμός των τετραγώνων που χρειάζονται είναι πάντα 4 φορές το μέγεθος του σχήματος, τότε γράφουμε τη σχέση ως $4 \cdot μ$ , όπου $μ$ το μέγεθος. Έτσι, για μέγεθος 17, τα τετράγωνα είναι $4 \times 17 = 68$ , χωρίς να χρειάζεται να τα μετρήσουμε ένα-ένα. Και αν ξέρουμε ότι χρειάστηκαν 132 τετράγωνα, μπορούμε να βρούμε το μέγεθος αντίστροφα: $132 : 4 = 33$ .

Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή με τιμή 🔢

Μια παράσταση με μεταβλητή γίνεται χρήσιμη όταν αντικαθιστούμε τη μεταβλητή με μια συγκεκριμένη τιμή και κάνουμε τις πράξεις. Ας πούμε ότι η έκταση ενός ωκεανού είναι $α$ τετραγωνικά χιλιόμετρα, και ενός δεύτερου ωκεανού είναι διπλάσια, δηλαδή $2α$ . Αν ξέρουμε ότι $α = 100.000.000$ , τότε αντικαθιστούμε:

2α = 2 \times 100.000.000 = 200.000.000

Το ίδιο θα κάναμε αν είχαμε την παράσταση $0,7α$ για έναν τρίτο ωκεανό: αντικαθιστούμε το $α$ με την τιμή του και υπολογίζουμε $0,7 \times 100.000.000 = 70.000.000$ .

Δύο βήματα λοιπόν, πάντα με αυτή τη σειρά:

Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή με τη γνωστή της τιμή.
Κάνουμε τις πράξεις που δείχνει η παράσταση.

Τι κρατάμε 🎯

Μεταβλητή είναι ένα γράμμα ή σύμβολο που αντικαθιστά έναν αριθμό άγνωστο ή μεταβαλλόμενο.
Οποιοδήποτε γράμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μεταβλητή, στη θέση οποιουδήποτε αριθμού.
Για να φτιάξουμε παράσταση με μεταβλητή: εντοπίζουμε τον άγνωστο, του δίνουμε ένα γράμμα, και προσδιορίζουμε τις πράξεις.
Ανάμεσα σε αριθμό και μεταβλητή, το σύμβολο του πολλαπλασιασμού συνήθως παραλείπεται: $3x$ αντί για $3 \times x$ .
Μια παράσταση με μεταβλητή μπορεί να περιγράφει μια σχέση ανάμεσα σε δύο ποσότητες που αλλάζουν μαζί, για όλες τις δυνατές τιμές τους.
Για να βρούμε την αριθμητική τιμή μιας παράστασης, αντικαθιστούμε τη μεταβλητή με τη γνωστή τιμή της και κάνουμε τις πράξεις.