Δυνάμεις του 10: γράφουμε γρήγορα τους πολύ μεγάλους αριθμούς 🔟

Ξέρεις ήδη ότι το $10 \times 10$ μπορεί να γραφτεί σαν δύναμη $10^2$. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πόσο χρήσιμο είναι αυτό όταν οι αριθμοί γίνονται τεράστιοι, όπως οι αποστάσεις στο διάστημα ή ο αριθμός των αστεριών σε έναν γαλαξία.

Τι είναι μια δύναμη του 10

Κάθε δύναμη του 10 είναι ένας αριθμός που ξεκινάει με το ψηφίο 1 και έχει τόσα μηδενικά όσα δείχνει ο εκθέτης. Δηλαδή, για να υπολογίσουμε μια δύναμη του 10 δεν χρειάζεται να κάνουμε καθόλου πολλαπλασιασμούς: γράφουμε το 1 και δίπλα του τόσα μηδενικά όσος είναι ο εκθέτης.

Πρόσεξε τον κανόνα: ο εκθέτης μάς λέει πόσα μηδενικά έχει ο αριθμός, όχι πόσες φορές γράφουμε το 10. Το $10^3$ δεν είναι το 10 τρεις φορές δίπλα-δίπλα, είναι το αποτέλεσμα $10 \times 10 \times 10 = 1.000$, δηλαδή το 1 με τρία μηδενικά.

Πώς γράφουμε έναν μεγάλο αριθμό με δύναμη του 10

Πολλοί μεγάλοι αριθμοί δεν είναι ακριβώς δυνάμεις του 10, αλλά μπορούν να γραφτούν σαν γινόμενο ενός μικρού αριθμού επί μια δύναμη του 10. Ακολουθούμε τρία βήματα:

1. Μετατρέπουμε τον αριθμό σε γινόμενο, χωρίζοντάς τον σε έναν μικρό αριθμό (χωρίς τα τελικά μηδενικά) και το 10, 100, 1000, ... που αντιστοιχεί στα υπόλοιπα μηδενικά.
2. Μετατρέπουμε το 10, 100, 1000, ... σε δύναμη του 10, μετρώντας τα μηδενικά.
3. Γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο, όπου ο δεύτερος παράγοντας είναι η δύναμη του 10.

Ας δούμε ένα παράδειγμα: υπάρχουν περίπου 500.000.000 γαλαξίες που έχουν ανακαλυφθεί στο διάστημα. Ο αριθμός αυτός γράφεται:

Δηλαδή πήραμε το «5» μπροστά και μετατρέψαμε το «100.000.000» (8 μηδενικά) σε $10^8$.

Γιατί είναι τόσο χρήσιμες

Οι δυνάμεις του 10 δεν είναι απλώς ένας συντομότερος τρόπος γραφής. Μας βοηθούν κυρίως να συγκρίνουμε μεγέθη με μια ματιά. Αν δύο αποστάσεις γράφονται ως $10^{12}$ μέτρα και $10^{21}$ μέτρα, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι η δεύτερη είναι πολύ πολύ μεγαλύτερη, χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε ψηφία ένα-ένα. Συγκεκριμένα, αφού $10^{21} = 10^{9} \times 10^{12}$, η δεύτερη απόσταση είναι $10^9$ (δηλαδή ένα δισεκατομμύριο) φορές μεγαλύτερη από την πρώτη.

Το ίδιο συμβαίνει και με πολύ μικρές ποσότητες ή με φαινόμενα που εξελίσσονται γρήγορα. Για παράδειγμα, όταν ένα βακτήριο πολλαπλασιάζεται μέσα σε λίγες ώρες, ο πληθυσμός του μπορεί να φτάσει τα εκατομμύρια ή τα δισεκατομμύρια άτομα. Αν σε 12 ώρες δημιουργούνται περίπου 1.500.000.000 βακτήρια, τότε μετά από 2 μέρες (δηλαδή 4 δωδεκάωρα) θα υπάρχουν:

Από τη δύναμη πίσω στον κανονικό αριθμό

Μπορούμε φυσικά και τον αντίστροφο δρόμο: από μια έκφραση με δύναμη του 10 να βρούμε τον πλήρη αριθμό. Αρκεί να υπολογίσουμε τη δύναμη (γράφοντας το 1 με τα μηδενικά) και μετά να πολλαπλασιάσουμε με τον μικρό αριθμό μπροστά.

Ο πληθυσμός της Γης είναι περίπου $7 \times 10^9$ άνθρωποι. Επειδή $10^9 = 1.000.000.000$, έχουμε:

δηλαδή περίπου επτά δισεκατομμύρια άνθρωποι.

Τι κρατάμε 🎯

• Κάθε δύναμη του 10 ισούται με το 1 ακολουθούμενο από τόσα μηδενικά όσος είναι ο εκθέτης της.
• Η βάση σε αυτές τις δυνάμεις είναι πάντα το 10· ο εκθέτης είναι αυτός που αλλάζει και καθορίζει πόσα μηδενικά έχει το αποτέλεσμα.
• Ένας μεγάλος αριθμός γράφεται ως γινόμενο ενός μικρού αριθμού επί μια δύναμη του 10, χωρίζοντάς τον στα «σημαντικά» ψηφία και στα τελικά μηδενικά.
• Οι δυνάμεις του 10 μας βοηθούν να διαβάζουμε, να γράφουμε και κυρίως να συγκρίνουμε πολύ μεγάλους αριθμούς εύκολα και γρήγορα.
• Για να επιστρέψουμε από τη δύναμη στον κανονικό αριθμό, υπολογίζουμε πρώτα τη δύναμη και μετά πολλαπλασιάζουμε.