Πολλαπλάσια και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 🔢

Κάθε φορά που μετράμε κάτι «ανά τόσο» -ανά 2, ανά 3, ανά 5- φτιάχνουμε στην ουσία μια λίστα από πολλαπλάσια. Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε τι είναι τα πολλαπλάσια, πώς βρίσκουμε τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών, και πώς υπολογίζουμε γρήγορα το μικρότερο απ' όλα αυτά, το Ε.Κ.Π.

Τι είναι το πολλαπλάσιο ενός αριθμού

Πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο φυσικό αριθμό (0, 1, 2, 3, ...).

Για παράδειγμα, τα πολλαπλάσια του 4 είναι:

Τα βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας το 4 διαδοχικά με 0, 1, 2, 3, 4, ... Επειδή οι φυσικοί αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ, κάθε αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια! 🌟 Δεν υπάρχει «τελευταίο» πολλαπλάσιο κανενός αριθμού.

Ομοίως, τα πολλαπλάσια του 6 είναι:

Κοινά πολλαπλάσια

Αν κοιτάξουμε τις δύο παραπάνω λίστες, θα δούμε ότι κάποιοι αριθμοί εμφανίζονται και στις δύο: το 0, το 12, το 24, το 36... Αυτούς τους αριθμούς, που είναι πολλαπλάσια και του 4 και του 6 ταυτόχρονα, τους λέμε κοινά πολλαπλάσια του 4 και του 6.

Γενικά: κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών λέγονται οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών ταυτόχρονα.

Το 0 είναι πάντα κοινό πολλαπλάσιο οποιωνδήποτε αριθμών, γι' αυτό συνήθως το αφήνουμε στην άκρη και κοιτάμε τα υπόλοιπα: 12, 24, 36, ...

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Από όλα τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών (εκτός από το 0), εκείνο που είναι το πιο μικρό ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο, και το συντομεύουμε Ε.Κ.Π.

Στο παράδειγμά μας, ανάμεσα στα κοινά πολλαπλάσια 12, 24, 36, ... το μικρότερο είναι το 12. Άρα:

Πρώτος τρόπος: εξετάζω τον μεγαλύτερο αριθμό

Ένας απλός τρόπος για να βρούμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών είναι ο εξής: εξετάζουμε τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς. Αν αυτός είναι ήδη πολλαπλάσιο και των υπολοίπων, τότε αυτός είναι το Ε.Κ.Π. Αν όχι, τον διπλασιάζουμε, τον τριπλασιάζουμε κ.ο.κ., μέχρι να βρούμε ένα πολλαπλάσιό του που να είναι πολλαπλάσιο και των άλλων αριθμών.

Παράδειγμα: θέλουμε το Ε.Κ.Π. του 5 και του 6. Ο μεγαλύτερος είναι το 6. Εξετάζουμε τα πολλαπλάσιά του: 6, 12, 18, 24, 30, ... Το 30 είναι το πρώτο από αυτά που είναι και πολλαπλάσιο του 5 (γιατί $30 = 5 \times 6$). Άρα:

Αυτός ο τρόπος είναι εύκολος όταν οι αριθμοί είναι μικροί, αλλά γίνεται κουραστικός όταν έχουμε μεγάλους αριθμούς ή περισσότερους από δύο.

Δεύτερος τρόπος: διαδοχικές διαιρέσεις με πρώτους αριθμούς

Ο πιο αξιόπιστος τρόπος για να βρούμε το Ε.Κ.Π., ειδικά όταν έχουμε μεγάλους αριθμούς, είναι να τους αναλύσουμε ταυτόχρονα σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, χρησιμοποιώντας διαδοχικές διαιρέσεις. Το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που θα βρούμε.

Η διαδικασία έχει βήματα:

1. Γράφουμε τους αριθμούς δίπλα δίπλα.
2. Βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο αριθμό (2, 3, 5, 7, 11, ...) που διαιρεί τουλάχιστον έναν από αυτούς.
3. Διαιρούμε μ' αυτόν όσους αριθμούς διαιρούνται, και γράφουμε τα πηλίκα από κάτω. Τους αριθμούς που δεν διαιρούνται τους ξαναγράφουμε όπως είναι.
4. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία με τον επόμενο μικρότερο πρώτο αριθμό, μέχρι όλα τα πηλίκα να γίνουν 1.
5. Το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών που χρησιμοποιήσαμε στις διαιρέσεις.

Ας δούμε το πλήρες παράδειγμα με τους αριθμούς 30, 36 και 45:

• Ο μικρότερος πρώτος που διαιρεί τουλάχιστον έναν είναι το 2: το 30 γίνεται 15, το 36 γίνεται 18, το 45 μένει 45 (δεν διαιρείται με το 2).
• Συνεχίζουμε με το 2 ξανά, αφού το 18 διαιρείται ακόμα: το 18 γίνεται 9, τα άλλα δύο (15 και 45) μένουν ίδια.
• Συνεχίζουμε με το 3: το 15 γίνεται 5, το 9 γίνεται 3, το 45 γίνεται 15.
• Συνεχίζουμε με το 3 ξανά: το 3 γίνεται 1, το 15 γίνεται 5, το 5 μένει 5.
• Συνεχίζουμε με το 5: όλα γίνονται 1.

Οι πρώτοι παράγοντες που χρησιμοποιήσαμε είναι: $2, 2, 3, 3, 5$. Άρα:

Πού μας χρησιμεύει το Ε.Κ.Π.

Το Ε.Κ.Π. δεν είναι απλώς μια μαθηματική άσκηση· μας βοηθάει να λύνουμε προβλήματα όπου κάτι επαναλαμβάνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα και ψάχνουμε πότε θα «συμπέσουν» ξανά.

Παράδειγμα: δύο γιατροί επισκέπτονται ένα χωριό την ίδια μέρα -ο ένας κάθε 2 εβδομάδες, ο άλλος κάθε 3 εβδομάδες. Αν βρέθηκαν μαζί μια συγκεκριμένη εβδομάδα, πότε θα ξανασυναντηθούν; Η απάντηση είναι το Ε.Κ.Π. του 2 και του 3, δηλαδή σε 6 εβδομάδες. Η δεύτερη κοινή τους συνάντηση θα είναι σε $6 \times 2 = 12$ εβδομάδες, η τρίτη σε $6 \times 3 = 18$ εβδομάδες, κ.ο.κ. -κάθε φορά προσθέτουμε το Ε.Κ.Π.

Παράδειγμα με «χωρισμό σε ομάδες»: μια ομάδα παιδιών θέλει να χωριστεί σε ομάδες των 5 ή σε ομάδες των 6, χωρίς να περισσεύει κανείς σε καμία από τις δύο περιπτώσεις. Ο αριθμός των παιδιών πρέπει να είναι κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 6. Αν θέλουμε τον μικρότερο δυνατό τέτοιο αριθμό παιδιών, ψάχνουμε το Ε.Κ.Π.(5, 6) = 30.

Τι κρατάμε 🎯

• Πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι ό,τι προκύπτει όταν τον πολλαπλασιάζουμε με 0, 1, 2, 3, ... -κάθε αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.
• Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών είναι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων τους ταυτόχρονα.
• Ε.Κ.Π. είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο, εκτός από το 0.
• Μπορούμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. εξετάζοντας τα πολλαπλάσια του μεγαλύτερου αριθμού, ή με διαδοχικές διαιρέσεις σε πρώτους παράγοντες -ο δεύτερος τρόπος είναι πιο αξιόπιστος για μεγάλους αριθμούς.
• Στις διαδοχικές διαιρέσεις, το Ε.Κ.Π. είναι το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών που χρησιμοποιήσαμε στη διαδικασία.
• Το Ε.Κ.Π. μας βοηθάει να λύνουμε προβλήματα «συνάντησης» ή «χωρισμού χωρίς υπόλοιπο».