Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί 🔢

Ξέρεις ήδη τι είναι οι διαιρέτες ενός αριθμού. Τώρα θα δούμε πώς οι διαιρέτες χωρίζουν όλους τους αριθμούς σε δύο μεγάλες οικογένειες: τους πρώτους και τους σύνθετους.

Ένα παιχνίδι με σειρές 🎯

Φαντάσου ότι μια ομάδα παιδιών θέλει να παραταχθεί σε ίσες σειρές, χωρίς να περισσέψει κανένα παιδί. Αν έχουν 12 παιδιά, μπορούν να φτιάξουν 2 σειρές των 6, ή 3 σειρές των 4, ή 4 σειρές των 3, ή 6 σειρές των 2. Το 12 έχει πολλούς διαιρέτες, γι' αυτό «χωράει» σε πολλούς διαφορετικούς σχηματισμούς.

Αν όμως έχουν 13 παιδιά; Δοκίμασε: σε σειρές των 2, των 3, των 4, των 5 πάντα περισσεύει κάποιο παιδί. Η μόνη «σειρά» που βγαίνει ακριβώς είναι μία σειρά με όλα τα 13 παιδιά μαζί. Αυτό συμβαίνει επειδή το 13 έχει μόνο δύο διαιρέτες: το 1 και το 13.

Αυτή ακριβώς η διαφορά -δύο διαιρέτες ή περισσότεροι- είναι που χωρίζει τους αριθμούς σε δύο κατηγορίες.

Ο ορισμός 🌟

Ένας αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει μόνο δύο διαιρέτες (το 1 και τον εαυτό του), λέγεται πρώτος.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 2 έχει διαιρέτες μόνο το 1 και το 2, άρα είναι πρώτος. Το ίδιο και το 13, το 17, το 23.

Ένας αριθμός που έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες λέγεται σύνθετος.

Ο αριθμός 4, για παράδειγμα, έχει διαιρέτες το 1, το 2 και το 4 -τρεις διαιρέτες- άρα είναι σύνθετος. Το ίδιο και το 12, που όπως είδαμε έχει έξι διαιρέτες.

Πώς ξεχωρίζω αν ένας αριθμός είναι πρώτος 🔍

Για να δεις αν ένας αριθμός είναι πρώτος, ελέγχεις αν διαιρείται με μικρότερους πρώτους αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας.

Ας δούμε πώς θα εξετάζαμε τους αριθμούς από το 101 έως το 110:

Πρώτα διαγράφουμε τους άρτιους (102, 104, 106, 108, 110), γιατί διαιρούνται με το 2. Μένουν οι 101, 103, 105, 107, 109. Από αυτούς, το 105 διαιρείται με το 3 (γιατί $1+0+5=6$, και το 6 διαιρείται με το 3), οπότε το διαγράφουμε κι αυτό. Κανένας από τους υπόλοιπους δεν διαιρείται με το 5, ούτε με το 7. Δοκιμάζοντας και τους επόμενους πρώτους αριθμούς, διαπιστώνουμε ότι δεν διαιρούνται με τίποτα άλλο.

Άρα: πρώτοι είναι οι 101, 103, 107, 109, ενώ σύνθετοι είναι οι 102, 104, 105, 106, 108, 110.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη 🕸️

Ο Ερατοσθένης ήταν σπουδαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος, που γεννήθηκε περίπου το 275 π.Χ. Επινόησε έναν έξυπνο τρόπο για να βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς μέσα σε ένα σύνολο αριθμών, που ονομάστηκε «κόσκινο του Ερατοσθένη», γιατί λειτουργεί σαν να «κοσκινίζει» τους αριθμούς και αφήνει μόνο τους πρώτους.

Η μέθοδος λειτουργεί ως εξής, αν θέλουμε να βρούμε τους πρώτους από το 1 έως το 100:

1. Διαγράφουμε το 1, γιατί δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.
2. Κρατάμε το 2 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (4, 6, 8, ...), αφού αυτά έχουν σίγουρα τρίτο διαιρέτη το 2.
3. Κρατάμε το 3 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (6, 9, 12, ...).
4. Κρατάμε το 5 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (10, 15, 20, ...).
5. Κρατάμε το 7 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (14, 21, 28, ...).

Όσοι αριθμοί μένουν στο τέλος, χωρίς να έχουν διαγραφεί, είναι οι πρώτοι αριθμοί! Από το 1 έως το 100, οι πρώτοι αριθμοί που θα απομείνουν είναι 25 συνολικά:

Οι σύνθετοι αριθμοί ως γινόμενο 🧩

Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δύο (ή περισσότερων) παραγόντων, με περισσότερους από έναν τρόπους. Για παράδειγμα, το 24 μπορεί να γραφτεί:

Αυτό σημαίνει ότι αν θέλαμε να χωρίσουμε 24 παιδιά σε ίσες ομάδες, θα είχαμε πολλές επιλογές: 2 ομάδες των 12, 3 ομάδες των 8, 4 ομάδες των 6, ή 6 ομάδες των 4.

Αν όμως είχαμε 23 παιδιά, δεν θα μπορούσαμε να τα χωρίσουμε σε ίσες ομάδες με κανέναν τρόπο εκτός από μία «ομάδα» όλων μαζί, γιατί το 23 είναι πρώτος αριθμός -έχει μόνο το 1 και το 23 ως διαιρέτες, άρα μόνο τον πολλαπλασιασμό $1 \times 23$.

Τι κρατάμε 🎯

• Πρώτος αριθμός: μεγαλύτερος από το 1, έχει μόνο δύο διαιρέτες (το 1 και τον εαυτό του).
• Σύνθετος αριθμός: έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες.
• Το 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.
• Το 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος αριθμός· όλοι οι άλλοι άρτιοι είναι σύνθετοι.
• Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι μια μέθοδος που βρίσκει τους πρώτους αριθμούς μέσα σε ένα σύνολο, διαγράφοντας διαδοχικά τα πολλαπλάσια του 2, του 3, του 5, του 7 κ.ο.κ.
• Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο παραγόντων με περισσότερους από έναν τρόπους -γι' αυτό «χωράει» σε περισσότερους διαφορετικούς σχηματισμούς ίσων ομάδων.