Μάντεψε το μυστικό κανόνα μου 🔍

Φαντάσου ότι έχεις έναν μεγάλο αριθμό, π.χ. τον $3.741.258$, και θέλεις να μάθεις αν διαιρείται με το 2, το 3, το 5 ή το 9. Δεν χρειάζεται να κάνεις τη διαίρεση! Υπάρχουν μικρά «κόλπα» —τα κριτήρια διαιρετότητας— που μας δίνουν την απάντηση κοιτάζοντας μόνο ένα-δυο ψηφία. Ας τα ανακαλύψουμε.

Διαιρετότητα με το 2, το 5 και το 10 🔢

Αυτά τα τρία κριτήρια κοιτάζουν μόνο το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

• Με το 2: διαιρείται όταν τελειώνει σε $0, 2, 4, 6$ ή $8$ (δηλαδή είναι άρτιος). Π.χ. τα $6, 28, 374, 1350$ διαιρούνται με το 2.
• Με το 5: διαιρείται όταν τελειώνει σε $0$ ή $5$. Π.χ. τα $75, 105, 300, 2630$ διαιρούνται με το 5.
• Με το 10: διαιρείται όταν τελειώνει σε $0$. Αν τελειώνει σε δύο μηδενικά, διαιρείται και με το $100$· αν τελειώνει σε τρία μηδενικά, διαιρείται και με το $1000$, και ούτω καθεξής. Π.χ. το $230$ διαιρείται με το 10, ενώ το $2300$ διαιρείται με το 10 ΚΑΙ με το 100.

Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 λέγονται άρτιοι ή ζυγοί (π.χ. $0, 2, 4, ..., 98, 100$), ενώ όσοι δεν διαιρούνται λέγονται περιττοί ή μονοί (π.χ. $1, 3, 5, ..., 99$).

Διαιρετότητα με το 3 και το 9 ➕

Εδώ το κόλπο είναι διαφορετικό: δεν κοιτάμε το τελευταίο ψηφίο, αλλά προσθέτουμε όλα τα ψηφία του αριθμού μεταξύ τους.

• Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Ας το δοκιμάσουμε με τον αριθμό $261$:

Το $9$ διαιρείται και με το 3 και με το 9, άρα ο $261$ διαιρείται και με τα δύο! Αντίθετα, ο αριθμός $201$ έχει άθροισμα ψηφίων $2 + 0 + 1 = 3$, που διαιρείται με το 3 αλλά όχι με το 9 — άρα ο $201$ διαιρείται μόνο με το 3.

Διαιρετότητα με το 4 και το 25 🔟

Σε αυτή την περίπτωση δεν κοιτάμε ούτε το τελευταίο ψηφίο ούτε όλα τα ψηφία, αλλά τα δύο τελευταία ψηφία μαζί, σαν να σχηματίζουν έναν δικό τους διψήφιο αριθμό.

• Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 όταν ο διψήφιος αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του ψηφία διαιρείται με το 4.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 25 όταν ο διψήφιος αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του ψηφία διαιρείται με το 25 (δηλαδή τελειώνει σε $00, 25, 50$ ή $75$).

Παράδειγμα: ο αριθμός $1.684$ έχει τελευταία δύο ψηφία το $84$. Επειδή $84 \div 4 = 21$ (χωρίς υπόλοιπο), ο $1.684$ διαιρείται με το 4. Ο αριθμός $275$ τελειώνει σε $75$, άρα διαιρείται με το 25.

Πώς χρησιμοποιούμε τα κριτήρια σε προβλήματα 🧩

Τα κριτήρια διαιρετότητας δεν είναι μόνο θεωρία — μας βοηθούν να λύνουμε προβλήματα γρήγορα. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Σε μια γιορτή, κάποιοι μαθητές μέτρησαν το πλήθος των παρευρισκομένων και διαφώνησαν: άλλοι είπαν πως ήταν $57$ και άλλοι $59$. Ξέρουμε όμως ότι μπήκαν στην αίθουσα παρατεταγμένοι σε τριάδες, χωρίς να περισσέψει κανείς. Ποιος αριθμός είναι σωστός;

Αφού μπήκαν σε τριάδες χωρίς να περισσέψει κανείς, ο συνολικός αριθμός πρέπει να διαιρείται με το 3. Ελέγχουμε το άθροισμα των ψηφίων:

Άρα ο σωστός αριθμός είναι το $57$.

Ένα δεύτερο παράδειγμα: σε ένα σχολείο, ο αριθμός των μαθητών είναι ανάμεσα στο $283$ και στο $293$, και μπορούν να παραταχθούν είτε σε τριάδες είτε σε πεντάδες χωρίς να περισσέψει κανείς. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός πρέπει να διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 ΚΑΙ με το 5. Ανάμεσα στο $283$ και το $293$, μόνο δύο αριθμοί διαιρούνται με το 5: το $285$ και το $290$. Ελέγχουμε ποιος διαιρείται και με το 3:

Άρα οι μαθητές ήταν $285$.

Τι κρατάμε 🎯

• Για το 2: κοιτάμε αν το τελευταίο ψηφίο είναι $0, 2, 4, 6, 8$.
• Για το 5: κοιτάμε αν το τελευταίο ψηφίο είναι $0$ ή $5$.
• Για το 10 (και $100, 1000$, ...): κοιτάμε πόσα μηδενικά έχει στο τέλος.
• Για το 3 και το 9: προσθέτουμε όλα τα ψηφία και ελέγχουμε το άθροισμα.
• Για το 4 και το 25: κοιτάμε αν τα δύο τελευταία ψηφία μαζί σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 25 αντίστοιχα.
• Όταν ένα πρόβλημα ζητά διαιρετότητα με δύο αριθμούς ταυτόχρονα (π.χ. με το 3 ΚΑΙ το 5), ελέγχουμε ξεχωριστά κάθε κριτήριο και κρατάμε μόνο τους αριθμούς που τα ικανοποιούν όλα.