Δίκαιη μοιρασιά: η διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών ➗

Κάθε φορά που μοιράζουμε κάτι εξίσου σε κάποιους —βιβλία σε παιδιά, χρήματα σε δόσεις, νερό σε λίτρα ανά κάτοικο— κάνουμε μια διαίρεση. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε τι σημαίνει πραγματικά η διαίρεση, πώς συνδέεται με τον πολλαπλασιασμό και πώς διαιρούμε εύκολα με το 10, το 100, το 1000 αλλά και με το 0,1, το 0,01, το 0,001.

Τέλεια και ατελής διαίρεση

Σε μια διαίρεση $Δ : δ$ έχουμε τον διαιρετέο $Δ$ (τον αριθμό που μοιράζουμε), τον διαιρέτη $δ$ (σε πόσα μοιράζουμε), το πηλίκο $π$ (πόσα παίρνει ο καθένας) και το υπόλοιπο $u$ (τι περισσεύει).

• Όταν το υπόλοιπο είναι 0, η διαίρεση λέγεται τέλεια. Για παράδειγμα, $12 : 4 = 3$ με υπόλοιπο 0.
• Όταν το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το 0, η διαίρεση λέγεται ατελής. Για παράδειγμα, $13 : 4 = 3$ με υπόλοιπο 1.

Σε κάθε διαίρεση ισχύει η βασική σχέση:

Δηλαδή ο διαιρετέος είναι πάντα ίσος με το γινόμενο διαιρέτη επί πηλίκο, συν το υπόλοιπο. Στο παράδειγμά μας: $13 = 4 · 3 + 1$. Αυτή η σχέση μας βοηθά και να ελέγχουμε αν μια διαίρεση είναι σωστή.

Η διαίρεση είναι αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού

Αν ξέρουμε ότι $4 · 3 = 12$, τότε αμέσως ξέρουμε και ότι $12 : 4 = 3$ και $12 : 3 = 4$. Αυτό ισχύει μόνο στην τέλεια διαίρεση: κάθε πολλαπλασιασμός "κρύβει" μέσα του δύο διαιρέσεις.

Αυτή η σχέση είναι πολύ χρήσιμη όταν ψάχνουμε έναν άγνωστο παράγοντα. Αν, για παράδειγμα, θέλουμε να βρούμε με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 4 για να πάρουμε 36, αρκεί να κάνουμε τη διαίρεση $36 : 4 = 9$. Άρα $4 · 9 = 36$.

Τρεις ειδικές περιπτώσεις

Υπάρχουν κανόνες που αξίζει να τους θυμόμαστε απέξω, γιατί εμφανίζονται συνέχεια:

Το πηλίκο δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάσουμε (ή διαιρέσουμε) και τους δύο όρους

Αν σε μια διαίρεση πολλαπλασιάσουμε —ή διαιρέσουμε— και τον διαιρετέο και τον διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο παραμένει το ίδιο. Ας το δούμε με ένα παράδειγμα: $12 : 3 = 4$. Αν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους με το 2, παίρνουμε $(12 · 2) : (3 · 2) = 24 : 6 = 4$. Το πηλίκο παρέμεινε 4.

Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη: μας επιτρέπει να "απλοποιούμε" δύσκολες διαιρέσεις μετατρέποντάς τες σε ευκολότερες με το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα.

Διαίρεση με το 10, το 100, το 1000…

Όταν διαιρούμε έναν αριθμό με το 10, το 100, το 1000 κ.λπ., ο αριθμός μικραίνει αντίστοιχα 10, 100 ή 1000 φορές. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι απλώς μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά τόσες θέσεις όσα και τα μηδενικά του διαιρέτη:

Το ίδιο ισχύει κι όταν ο διαιρετέος είναι ήδη δεκαδικός: $0,8 : 10 = 0,08$ — η υποδιαστολή μετακινείται πάλι μία θέση προς τα αριστερά.

Διαίρεση με το 0,1, το 0,01, το 0,001…

Εδώ χρησιμοποιούμε ακριβώς την ιδιότητα που είδαμε παραπάνω: αφού το πηλίκο δεν αλλάζει όταν πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, μετατρέπουμε τον διαιρέτη σε 1 πολλαπλασιάζοντάς τον με το 10, το 100 ή το 1000:

Στην πράξη, λοιπόν, για να διαιρέσουμε έναν αριθμό με το 0,1, το 0,01 ή το 0,001, αρκεί να μετακινήσουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά 1, 2 ή 3 θέσεις αντίστοιχα — σαν να πολλαπλασιάζαμε με το 10, το 100 ή το 1000.

Πώς εφαρμόζονται όλα αυτά σε ένα πρόβλημα

Ας δούμε ένα ολοκληρωμένο παράδειγμα. Ένας σύλλογος αγόρασε αντικείμενα συνολικού κόστους 2.190 € και συμφώνησε να τα πληρώσει σε 8 ίσες δόσεις. Πόσο θα είναι κάθε δόση;

Κάνουμε τη διαίρεση:

Κάθε δόση θα είναι 273,75 €. Παρατηρούμε ότι, παρόλο που ξεκινήσαμε από φυσικούς αριθμούς, το πηλίκο βγήκε δεκαδικό — αυτό είναι απόλυτα φυσιολογικό σε μια ατελή διαίρεση όπου συνεχίζουμε τη διαίρεση στα δέκατα και στα εκατοστά.

Τι κρατάμε 🎯

• Στη διαίρεση $Δ : δ = π$ με υπόλοιπο $u$ ισχύει πάντα $Δ = δ · π + u$.
• Η τέλεια διαίρεση (υπόλοιπο 0) είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.
• Κάθε αριθμός διά 1 δίνει τον εαυτό του· διά τον εαυτό του δίνει 1· το 0 διά οποιονδήποτε αριθμό δίνει 0.
• Ποτέ δεν διαιρούμε με το 0.
• Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε διαιρετέο και διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει.
• Διαίρεση με 10, 100, 1000: η υποδιαστολή πάει αριστερά.
• Διαίρεση με 0,1, 0,01, 0,001: η υποδιαστολή πάει δεξιά.