Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών ✖️

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πράξη που τη χρησιμοποιούμε συνέχεια: για να βρούμε το κόστος πολλών ίδιων αντικειμένων, την απόσταση που διανύει κάτι σε ορισμένο χρόνο, ή το εμβαδόν μιας επιφάνειας. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και πώς πολλαπλασιάζουμε γρήγορα με το 10, το 100, το 1.000, καθώς και με το 0,1, το 0,01, το 0,001.

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού 🔄

Αντιμεταθετική ιδιότητα

Αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, το γινόμενο παραμένει ίδιο.

Το ίδιο ισχύει και με δεκαδικούς αριθμούς:

Δεν έχει σημασία ποιον αριθμό γράφουμε πρώτο· το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

Προσεταιριστική ιδιότητα

Όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε τρεις αριθμούς, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε πρώτα τους δύο από αυτούς και μετά το γινόμενό τους με τον τρίτο, με όποια σειρά μας βολεύει:

Αυτό ισχύει και με δεκαδικούς:

Η προσεταιριστική ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη όταν βλέπουμε ότι δύο από τους τρεις αριθμούς πολλαπλασιάζονται πιο εύκολα μεταξύ τους.

Επιμεριστική ιδιότητα

Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε προσθετέο ξεχωριστά και μετά να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα:

Η ίδια ιδιότητα ισχύει και όταν έχουμε αφαίρεση μέσα στην παρένθεση:

Η επιμεριστική ιδιότητα μας βοηθάει να «σπάμε» έναν δύσκολο πολλαπλασιασμό σε πιο εύκολα κομμάτια. Για παράδειγμα, το $15 \cdot 3,2$ μπορεί να γίνει πιο απλό αν σκεφτούμε το 3,2 ως $3 + 0,2$:

Πολλαπλασιασμός με το 10, το 100, το 1.000 🔢

Με φυσικούς αριθμούς

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με το 10, το 100 ή το 1.000, αρκεί να προσθέσουμε στο τέλος του τόσα μηδενικά όσα έχει και ο πολλαπλασιαστής:

Με δεκαδικούς αριθμούς

Στους δεκαδικούς αριθμούς, κάθε ψηφίο έχει αξία δέκα φορές μεγαλύτερη από το ψηφίο που βρίσκεται αμέσως δεξιά του. Γι' αυτό, όταν πολλαπλασιάζουμε με το 10, μετακινούμε την υποδιαστολή μία θέση προς τα δεξιά· ο αριθμός μεγαλώνει 10 φορές. Με το 100 τη μετακινούμε δύο θέσεις, με το 1.000 τρεις θέσεις, κ.ο.κ.

Πολλαπλασιασμός με το 0,1, το 0,01, το 0,001 🔍

Το 0,1 είναι 10 φορές μικρότερο από το 1. Άρα, όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με το 0,1, ο αριθμός μικραίνει 10 φορές. Για να μικρύνουμε έναν αριθμό 10 φορές, μετακινούμε την υποδιαστολή μία θέση προς τα αριστερά. Με το 0,01 τη μετακινούμε δύο θέσεις αριστερά, με το 0,001 τρεις θέσεις αριστερά.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών 📐

Ο πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών γίνεται ακριβώς όπως ο πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών, αγνοώντας αρχικά τις υποδιαστολές. Στο τέλος, στο γινόμενο βάζουμε τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι συνολικά τα δεκαδικά ψηφία όλων των παραγόντων μαζί.

Για παράδειγμα, ξέρουμε ότι $42 \cdot 85 = 3.570$. Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα, μπορούμε να βρούμε γρήγορα:

εδώ το 4,2 έχει ένα δεκαδικό ψηφίο και το 8,5 έχει ένα δεκαδικό ψηφίο, άρα το γινόμενο έχει δύο δεκαδικά ψηφία συνολικά. Ομοίως:

Ένας ακόμη τρόπος να δούμε τι συμβαίνει: κάθε φορά που μετακινούμε την υποδιαστολή έναν παράγοντα προς τα αριστερά (τον μικραίνουμε 10 φορές), πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή του άλλου παράγοντα προς τα δεξιά (να τον μεγαλώσουμε 10 φορές) για να μείνει το γινόμενο ίδιο. Γι' αυτό το $42 \cdot 85$, το $4,2 \cdot 8,5$ και το $0,42 \cdot 850$ οδηγούν σε γινόμενα με το ίδιο «ψηφιακό περιεχόμενο», μόνο η υποδιαστολή αλλάζει θέση.

Οι ιδιότητες στην πράξη 🚴

Ας δούμε πώς μας βοηθούν οι ιδιότητες σε ένα πρόβλημα. Μια ομάδα αγοράζει για κάθε μέλος της ένα κράνος που κοστίζει 45,8 € και μια στολή που κοστίζει 52 €. Η ομάδα έχει 5 άτομα. Πόσο θα κοστίσει συνολικά;

Μπορούμε να το υπολογίσουμε με δύο τρόπους:

• 1ος τρόπος: Βρίσκουμε χωριστά το κόστος των κρανών και το κόστος των στολών, και μετά τα προσθέτουμε: $45,8 \cdot 5 = 229$ €, $52 \cdot 5 = 260$ €, άρα $229 + 260 = 489$ €.
• 2ος τρόπος: Βρίσκουμε πρώτα πόσο κοστίζει το σύνολο (κράνος και στολή) για ένα άτομο, και μετά πολλαπλασιάζουμε με το πλήθος των ατόμων: $45,8 + 52 = 97,8$ €, άρα $97,8 \cdot 5 = 489$ €.

Και οι δύο τρόποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα — αυτή είναι ακριβώς η επιμεριστική ιδιότητα σε δράση: $5 \cdot (45,8 + 52) = 5 \cdot 45,8 + 5 \cdot 52$.

Τι κρατάμε 🎯

• Στον πολλαπλασιασμό η σειρά των παραγόντων δεν έχει σημασία (αντιμεταθετική ιδιότητα).
• Σε πολλαπλασιασμό τριών αριθμών, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε όπως μας βολεύει (προσεταιριστική ιδιότητα).
• Πολλαπλασιασμός με άθροισμα = άθροισμα των επιμέρους γινομένων (επιμεριστική ιδιότητα)· ισχύει και με αφαίρεση.
• Πολλαπλασιασμός με 10, 100, 1.000: η υποδιαστολή μετακινείται προς τα ΔΕΞΙΑ, τόσες θέσεις όσα τα μηδενικά.
• Πολλαπλασιασμός με 0,1, 0,01, 0,001: η υποδιαστολή μετακινείται προς τα ΑΡΙΣΤΕΡΑ, τόσες θέσεις όσα τα δεκαδικά ψηφία.
• Στο γινόμενο δύο δεκαδικών αριθμών, τα δεκαδικά ψηφία είναι όσα το άθροισμα των δεκαδικών ψηφίων των παραγόντων.