Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών ➕

Την πρόσθεση και την αφαίρεση τις ξέρεις ήδη από μικρός. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε γιατί λειτουργούν όπως λειτουργούν και πώς να τις κάνεις πιο γρήγορα και με λιγότερα λάθη, ακόμα και με δεκαδικούς αριθμούς.

Η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης 🌀

Στην πρόσθεση, η σειρά με την οποία γράφουμε τους προσθετέους δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Αυτό λέγεται αντιμεταθετική ιδιότητα.

49 + 16 = 65 \quad \text{και} \quad 16 + 49 = 65

Το ίδιο ισχύει και για δεκαδικούς αριθμούς:

3{,}2 + 11{,}5 = 14{,}7 \quad \text{και} \quad 11{,}5 + 3{,}2 = 14{,}7

Αυτή η ιδιότητα μας φαίνεται τόσο φυσιολογική που συχνά δεν την προσέχουμε, όμως είναι πολύ χρήσιμη: μας επιτρέπει να διαλέγουμε τη σειρά που μας βολεύει για να προσθέσουμε πιο εύκολα.

Υπάρχει κι ένας αριθμός με ιδιαίτερο ρόλο στην πρόσθεση: το $0$ . Όποιον αριθμό κι αν προσθέσουμε με το $0$ , το αποτέλεσμα παραμένει ο ίδιος αριθμός:

a + 0 = a

Γι' αυτό το $0$ λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.

Η προσεταιριστική ιδιότητα 🔄

Όταν προσθέτουμε πολλούς αριθμούς μαζί, μπορούμε να τους ομαδοποιήσουμε όπως θέλουμε, χωρίς να αλλάξει το άθροισμα. Αυτό λέγεται προσεταιριστική ιδιότητα.

49 + 16 + 14 = (49 + 16) + 14 = 65 + 14 = 79

49 + 16 + 14 = 49 + (16 + 14) = 49 + 30 = 79

Και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: $79$ .

Ένα έξυπνο κόλπο

Αν θέλεις να προσθέσεις με το μυαλό τους αριθμούς $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ , μπορείς να φτιάξεις ζευγάρια που κάνουν $10$ : $(9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + 5 = 10+10+10+10+5 = 45$ . Χάρη στην αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα, μπορείς να αλλάξεις τη σειρά και τα ζευγάρια των προσθετέων όπως σε βολεύει, χωρίς να αλλάξει το αποτέλεσμα!

Η αφαίρεση είναι αντίστροφη της πρόσθεσης ⬆️⬇️

Μια πράξη ή μια ενέργεια που «ακυρώνει» μια άλλη λέγεται αντίστροφη της. Για παράδειγμα, το ανοίγω αναιρείται από το κλείνω, το ανεβαίνω από το κατεβαίνω.

Στα μαθηματικά, η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης. Αν από τον αριθμό 26 αφαιρέσουμε το 8, βρίσκουμε 18. Για να ξαναβρούμε το 26 από το 18, προσθέτουμε ξανά το 8:

26 - 8 = 18 \quad \text{και} \quad 18 + 8 = 26

Αυτό μας δίνει έναν πολύ χρήσιμο κανόνα, που ισχύει σε κάθε αφαίρεση: αν προσθέσουμε τη διαφορά με τον αφαιρετέο, ξαναβρίσκουμε τον μειωτέο.

\text{μειωτέος} - \text{αφαιρετέος} = \text{διαφορά}

Παράδειγμα:

693 - 541 = 152 \quad \Rightarrow \quad 152 + 541 = 693

Το ίδιο συμβαίνει και με δεκαδικούς:

92{,}5 - 48{,}2 = 44{,}3 \quad \Rightarrow \quad 44{,}3 + 48{,}2 = 92{,}5

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ πρακτικός: όποτε κάνεις μια αφαίρεση, μπορείς να ελέγξεις αν είναι σωστή προσθέτοντας τη διαφορά με τον αφαιρετέο. Αν βγει ο μειωτέος, η αφαίρεσή σου είναι σωστή!

Προσοχή: η αφαίρεση δεν έχει αντιμεταθετική ιδιότητα!

Στην πρόσθεση μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά χωρίς πρόβλημα, όμως στην αφαίρεση αυτό ΔΕΝ ισχύει. Το $20 - 10 = 10$ , αλλά το $10 - 20$ δεν δίνει το ίδιο αποτέλεσμα (στους φυσικούς αριθμούς μάλιστα δεν γίνεται καν). Η σειρά στην αφαίρεση έχει σημασία: πρώτα γράφουμε πάντα τον μειωτέο και μετά τον αφαιρετέο.

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών 🔢

Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς γίνονται όπως ακριβώς και στους φυσικούς: προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία σύμφωνα με την αξία τους — δηλαδή δεκάδες με δεκάδες, μονάδες με μονάδες, δέκατα με δέκατα, εκατοστά με εκατοστά κ.ο.κ.

Το πιο σημαντικό βήμα είναι να ευθυγραμμίσουμε σωστά την υποδιαστολή, γράφοντας τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον, ώστε κάθε ψηφίο να βρίσκεται κάτω από το ψηφίο της ίδιας τάξης. Αν κάποιος αριθμός έχει λιγότερα δεκαδικά ψηφία, μπορούμε νοητά να συμπληρώσουμε με μηδενικά, χωρίς να αλλάζει η αξία του.

Παράδειγμα πρόσθεσης:

27{,}500 + 4{,}085 = 31{,}585

Παράδειγμα αφαίρεσης:

100{,}000 - 5{,}123 = 94{,}877

Παρατήρησε ότι το $100{,}000$ γράφτηκε με τρία δεκαδικά ψηφία (ίδια με το $5{,}123$ ) μόνο και μόνο για να ευθυγραμμιστούν σωστά τα ψηφία κατά την αφαίρεση — η αξία του αριθμού παραμένει $100$ .

Πρόσθεση και αφαίρεση στην καθημερινή ζωή 💶

Αυτές οι δύο πράξεις μας βοηθούν να λύνουμε καθημερινά προβλήματα. Ας δούμε ένα παράδειγμα: Μια μαθήτρια έχει μαζέψει $18{,}85$ € και θέλει να φτάσει τα $35{,}60$ € για να αγοράσει κάτι. Πόσα χρήματα της λείπουν;

Το πρόβλημα λέει ότι: $18{,}85 + \text{άγνωστο ποσό} = 35{,}60$ €. Αφού η αφαίρεση είναι αντίστροφη της πρόσθεσης, βρίσκουμε το άγνωστο ποσό κάνοντας αφαίρεση:

35{,}60 - 18{,}85 = 16{,}75 \text{ €}

Αυτή η λογική —όταν ψάχνουμε «τι πρέπει να προσθέσω για να φτάσω σε ένα σύνολο», κάνουμε αφαίρεση— είναι από τις πιο χρήσιμες στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων.

Τι κρατάμε 🎯

Στην πρόσθεση μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων (αντιμεταθετική ιδιότητα) και τα ζευγάρια τους (προσεταιριστική ιδιότητα) χωρίς να αλλάξει το άθροισμα.
Το $0$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης: $a + 0 = a$ για κάθε αριθμό $a$ .
Η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης: μειωτέος − αφαιρετέος = διαφορά, και διαφορά + αφαιρετέος = μειωτέος. Αυτό μας βοηθά να ελέγχουμε τις αφαιρέσεις μας.
Στην αφαίρεση η σειρά έχει σημασία — δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα.
Στους δεκαδικούς αριθμούς, προσθέτουμε και αφαιρούμε ψηφίο-ψηφίο ανάλογα με την αξία του, φροντίζοντας πάντα να ευθυγραμμίζουμε σωστά την υποδιαστολή.
Όταν ψάχνουμε πόσο λείπει για να φτάσουμε σε ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε αφαίρεση.