Οι αριθμοί αναμετριούνται 🔢

Κάθε φορά που ρωτάμε «ποιο νησί είναι πιο κοντά;» ή «ποια τιμή είναι πιο φθηνή;», στην πραγματικότητα κάνουμε ένα μαθηματικό βήμα: συγκρίνουμε αριθμούς. Δύο φυσικοί ή δεκαδικοί αριθμοί μπορούν πάντα να συγκριθούν μεταξύ τους, και το αποτέλεσμα της σύγκρισης εκφράζεται με ένα από τα τρία σύμβολα:

$<$ σημαίνει «μικρότερο από»
$>$ σημαίνει «μεγαλύτερο από»
$=$ σημαίνει «ίσο με»

Το «στόμα» του συμβόλου $<$ ή $>$ κοιτάζει πάντα προς τον μεγαλύτερο αριθμό. Για παράδειγμα:

801 < 811

Εδώ οι δύο αριθμοί έχουν τα ίδια πλήθος ψηφίων, οπότε συγκρίνουμε ψηφίο προς ψηφίο ξεκινώντας από αριστερά: το $8$ των εκατοντάδων είναι ίδιο, αλλά στις δεκάδες το $0$ είναι μικρότερο από το $1$ , άρα $801$ είναι μικρότερος.

Πώς συγκρίνουμε φυσικούς αριθμούς 🔍

Όταν δύο φυσικοί αριθμοί έχουν διαφορετικό πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι πάντα αυτός με τα περισσότερα ψηφία. Για παράδειγμα, ο $11.111$ είναι μεγαλύτερος από τον $9.999$ , γιατί έχει πέντε ψηφία ενώ ο άλλος έχει μόνο τέσσερα — όσο μεγάλος κι αν φαίνεται ο $9.999$ , κάθε πενταψήφιος αριθμός τον ξεπερνάει.

Όταν οι αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, τους συγκρίνουμε ψηφίο προς ψηφίο, ξεκινώντας από το ψηφίο με τη μεγαλύτερη αξία (αριστερά) προς τα δεξιά, μέχρι να βρούμε το πρώτο ζευγάρι ψηφίων που διαφέρει. Για παράδειγμα, στους αριθμούς $30.010$ και $30.009$ τα ψηφία των χιλιάδων, εκατοντάδων και δεκάδων είναι ίδια ( $3,0,0$ ), αλλά στις μονάδες το $1$ είναι μεγαλύτερο από το $0$ , άρα:

30.010 > 30.009

Προσοχή στο πλήθος ψηφίων!

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να συγκρίνουμε αριθμούς σαν να ήταν «λέξεις», κοιτώντας μόνο τα πρώτα ψηφία. Πριν συγκρίνεις ψηφίο προς ψηφίο, μέτρησε πάντα πρώτα πόσα ψηφία έχει ο κάθε αριθμός. Ο $1.099$ φαίνεται να ξεκινάει «μεγάλος», όμως έχει τα ίδια ψηφία με τον $1.100$ και είναι μικρότερός του, αφού $1.099 < 1.100$ .

Πώς συγκρίνουμε δεκαδικούς αριθμούς 🎯

Στους δεκαδικούς αριθμούς κοιτάμε πρώτα το ακέραιο μέρος (πριν το υποδιαστολή). Αν αυτό διαφέρει, ο αριθμός με το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος είναι ο μεγαλύτερος. Αν το ακέραιο μέρος είναι ίδιο, τότε συγκρίνουμε ψηφίο προς ψηφίο το δεκαδικό μέρος, ξεκινώντας από τα δέκατα, μετά τα εκατοστά, μετά τα χιλιοστά κ.ο.κ.

1{,}13 < 1{,}15

Εδώ το ακέραιο μέρος ( $1$ ) είναι ίδιο, τα δέκατα ( $1$ ) είναι ίδια, αλλά στα εκατοστά το $3$ είναι μικρότερο από το $5$ .

Τα περισσότερα δεκαδικά ψηφία δεν σημαίνουν μεγαλύτερο αριθμό!

Πολλοί μαθητές νομίζουν ότι όσο περισσότερα ψηφία έχει το δεκαδικό μέρος, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός. Δεν ισχύει! Ο $0{,}096$ είναι μικρότερος από τον $0{,}099$ , αλλά αν συγκρίνουμε τον $9{,}935$ με τον $9{,}93$ , ο $9{,}935$ είναι μεγαλύτερος, παρόλο που ο δεύτερος γράφεται με λιγότερα ψηφία. Το κόλπο είναι να «συμπληρώνουμε» νοητά μηδενικά: το $9{,}93$ είναι το ίδιο με το $9{,}930$ , και τότε βλέπουμε καθαρά ότι $9{,}930 < 9{,}935$ .

Διάταξη αριθμών: αύξουσα και φθίνουσα σειρά 🗂️

Αφού ξέρουμε να συγκρίνουμε δύο αριθμούς, μπορούμε να διατάξουμε πολλούς αριθμούς μαζί, δηλαδή να τους βάλουμε σε σειρά:

Αύξουσα σειρά: από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο.
Φθίνουσα σειρά: από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο.

Μπορούμε να γράψουμε τη διάταξη σαν μια αλυσίδα ανισοτήτων:

2{,}05 < 3{,}1 < 3{,}5

23 > 15 > 9

Σε μια τέτοια αλυσίδα, το σύμβολο πρέπει να «δείχνει» με συνέπεια προς την ίδια κατεύθυνση σε όλη τη σειρά — δεν μπορούμε να ανακατεύουμε $<$ και $>$ στην ίδια αλυσίδα, γιατί τότε η διάταξη γίνεται αντιφατική.

Σύγκριση	Σωστό;	Γιατί
$11.100 > 11.001 > 10.110 > 10.101$	Ναι	Κάθε αριθμός είναι μικρότερος από τον προηγούμενό του
$9 > 23 < 15$	Όχι	Το σύμβολο αλλάζει κατεύθυνση μέσα στην ίδια αλυσίδα

Παρεμβολή αριθμών ➕

Η σύγκριση και η διάταξη μάς επιτρέπουν να παρεμβάλουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς ανάμεσα σε δύο άλλους, δηλαδή να βρούμε αριθμούς που βρίσκονται «ανάμεσά» τους. Για παράδειγμα:

1 < ... < 3

Ανάμεσα στο $1$ και το $3$ μπορεί να μπει ο αριθμός $2$ , αφού $1 < 2 < 3$ . Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και με δεκαδικούς: ανάμεσα στο $2{,}005$ και το $2{,}007$ παρεμβάλλεται ο $2{,}006$ , αφού $2{,}005 < 2{,}006 < 2{,}007$ .

Άπειροι αριθμοί ανάμεσα σε δύο άλλους!

Ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει πάντα πεπερασμένο πλήθος άλλων φυσικών αριθμών. Όμως ανάμεσα σε δύο οποιουσδήποτε δεκαδικούς αριθμούς —όσο κοντά κι αν είναι μεταξύ τους— υπάρχουν πάντα άπειροι άλλοι δεκαδικοί αριθμοί! Ανάμεσα στο $1$ και στο $1{,}001$ χωράνε π.χ. οι αριθμοί $1{,}0001$ , $1{,}00001$ , και πολλοί ακόμα.

Η αριθμογραμμή 📏

Έναν πολύ χρήσιμο τρόπο να «βλέπουμε» τη σύγκριση και τη διάταξη είναι η αριθμογραμμή. Πάνω σε μια αριθμογραμμή, όσο πιο δεξιά βρίσκεται ένα σημείο, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί σε αυτό.

Αν δύο σημεία $A$ και $B$ αντιστοιχούν στους αριθμούς $2$ και $6$ , μπορούμε να βρούμε το μέσο του τμήματος $AB$ , δηλαδή το σημείο που απέχει την ίδια απόσταση και από τα δύο. Η απόσταση $AB$ είναι $6-2=4$ μονάδες. Το μέσο απέχει τις μισές, δηλαδή $2$ μονάδες, από κάθε άκρο. Ξεκινώντας από το $2$ και προσθέτοντας $2$ μονάδες βρίσκουμε:

2 + 2 = 4

Άρα το μέσο του τμήματος $AB$ αντιστοιχεί στον αριθμό $4$ .

Η σύγκριση στην καθημερινή ζωή 💶

Η σύγκριση αριθμών μας βοηθάει να παίρνουμε αποφάσεις. Ας δούμε ένα παράδειγμα: ένα έτοιμο σάντουιτς κοστίζει $1{,}10$ €. Αν το φτιάξουμε μόνοι μας, χρειαζόμαστε ψωμί ( $0{,}20$ €), αλλαντικό ( $0{,}23$ €) και τυρί ( $0{,}18$ €). Για να δούμε ποια επιλογή κοστίζει περισσότερο, προσθέτουμε πρώτα το κόστος των υλικών:

0{,}20 + 0{,}23 + 0{,}18 = 0{,}61

Τώρα συγκρίνουμε τα δύο ποσά:

1{,}10 > 0{,}61

Άρα το έτοιμο σάντουιτς κοστίζει περισσότερο από το σπιτικό. Έτσι, με μια απλή σύγκριση δεκαδικών αριθμών, καταλήγουμε σε μια πρακτική απόφαση.

Η ίδια λογική εφαρμόζεται όποτε πρέπει να ελέγξουμε αν κάτι «χωράει» σε ένα όριο — για παράδειγμα, αν το συνολικό βάρος μερικών ατόμων ξεπερνάει το όριο ενός ανελκυστήρα. Προσθέτουμε τα βάρη και συγκρίνουμε το άθροισμα με το όριο, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα $<$ ή $>$ .

Τι κρατάμε 🎯

Κάθε δύο φυσικοί ή δεκαδικοί αριθμοί μπορούν να συγκριθούν με τα σύμβολα $<$ , $>$ , $=$ , και το «στόμα» του συμβόλου δείχνει πάντα τον μεγαλύτερο αριθμό.
Σε φυσικούς αριθμούς με διαφορετικό πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι αυτός με τα περισσότερα ψηφία· με ίδιο πλήθος ψηφίων, συγκρίνουμε ψηφίο-ψηφίο από αριστερά προς τα δεξιά.
Σε δεκαδικούς αριθμούς, συγκρίνουμε πρώτα το ακέραιο μέρος και μετά, ψηφίο-ψηφίο, το δεκαδικό μέρος (δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά…), συμπληρώνοντας νοητά μηδενικά όπου χρειάζεται.
Η διάταξη τοποθετεί αριθμούς σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά, και η παρεμβολή βρίσκει αριθμούς ανάμεσα σε δύο άλλους.
Στην αριθμογραμμή, όσο πιο δεξιά είναι ένα σημείο, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός· το μέσο ενός τμήματος βρίσκεται προσθέτοντας τη μισή απόσταση στο μικρότερο άκρο.
Η σύγκριση αριθμών μάς βοηθάει να παίρνουμε πρακτικές αποφάσεις στην καθημερινή ζωή, όπως το ποια επιλογή κοστίζει λιγότερο.