Μαθηματική Θεωρία 📘

Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι περίπου 3 φορές το τετράγωνο της ακτίνας. Επίσης το μήκος του κύκλου είναι περίπου 3 φορές η διάμετρος. Αυτός ο αριθμός, ο «περίπου 3», ονομάζεται π (π = 3,14) και είναι στην πραγματικότητα ένας αριθμός με πάρα πολλά δεκαδικά ψηφία. Για ευκολία, χρησιμοποιούμε μόνο τα δύο πρώτα δεκαδικά ψηφία: π = 3,14.

Εμβαδόν Κυκλικού Δίσκου

Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π επί το τετράγωνο της ακτίνας (α) του.

Αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο:

Παράδειγμα 🧠

Αν γνωρίζουμε την ακτίνα του κύκλου, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Αυτή η σχέση μεταξύ της ακτίνας και του εμβαδού είναι θεμελιώδης για τους υπολογισμούς που αφορούν κύκλους και κυκλικούς δίσκους!

Δραστηριότητα 1η ✏️

Ο κύκλος είναι ένα από τα σχήματα που συναντάς καθημερινά στη ζωή σου.

• Ανέφερε κάποια κυκλικά αντικείμενα:

  • Δίσκοι, τηγάνια, ρόδα αυτοκινήτου κ.λπ. 🥞🚗

• Μπορούμε να κάνουμε τουλάχιστον 4 μετρήσεις που μας χρησιμεύουν στο να περιγράψουμε το μέγεθος ενός κύκλου. Συγκεκριμένα μπορούμε να μετρήσουμε την ακτίνα, τη διάμετρο, το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν. Ποιες από τις παραπάνω μετρήσεις γίνονται ευκολότερα;

  • Η ακτίνα και η διάμετρος.

Δραστηριότητα 2η ✏️

Προσπάθησε να κάνεις μια εκτίμηση με όποιον τρόπο νομίζεις για το πιθανό εμβαδόν του μεγαλύτερου από τους πιο κάτω κύκλους.

• Η επιφάνεια του μεγάλου κύκλου είναι 4 φορές τη γραμμοσκιασμένη επιφάνεια που αποτελείται από 13 τετραγωνάκια. Επομένως, ο μεγάλος κύκλος αποτελείται από 4 × 13 = 52 περίπου τετραγωνάκια.

Πιστεύεις ότι υπάρχει κάποια σχέση ανάμεσα στο εμβαδόν και την ακτίνα του κύκλου;

• Ναι ✔️

Ο κύκλος με τη μισή ακτίνα θα έχει το μισό εμβαδόν;

• Όχι απαραίτητα ❌

Στο διπλανό σχήμα βλέπεις σκιασμένο ένα τετράγωνο. Θα το ονομάσουμε «τετράγωνο της ακτίνας». Γιατί;

• Γιατί η πλευρά του είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου. 📏

Κόψε μερικά τέτοια τετράγωνα και προσπάθησε να ανακαλύψεις πόσα χρειάζονται για να καλυφθεί η επιφάνεια του κυκλικού δίσκου.

• Πόσα χρειάζονται;
  • 3 με 4 περίπου. 📐

Επανέλαβε το ίδιο και για άλλους κύκλους, σημειώνοντας πάντα τα αποτελέσματα. Διακρίνεις κάτι που ισχύει και πάλι για τους κύκλους ανεξάρτητα από το μέγεθός τους;

• Η διαπίστωση είναι η ίδια. 🟢

Μπορείς τώρα να πεις πώς μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου χωρίς να κόβουμε τετράγωνα;

• Το εμβαδόν του κύκλου είναι περίπου 3 φορές το εμβαδόν τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα. 🧮

Εφαρμογή 1η ✏️

Μια εταιρία κινητής τηλεφωνίας έβαλε την κεραία της στο σημείο που φαίνεται στον χάρτη. Η κεραία έχει εμβέλεια (δηλαδή στέλνει σήμα) σε απόσταση 25 χιλιομέτρων. Σημείωσε πάνω στον χάρτη την περιοχή της εμβέλειας και υπολόγισε το εμβαδόν της περιοχής αυτής.

Λύση:

Αφού γνωρίζουμε ότι όλα τα σημεία που βρίσκονται σε απόσταση μέχρι 25 χλμ. βρίσκονται μέσα στην περιοχή εμβέλειας, για να οριοθετήσουμε την περιοχή αυτή, θα σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο την κεραία και ακτίνα 25 χλμ., αφού υπολογίσουμε πόση θα είναι η απόσταση αυτή πάνω στον χάρτη σύμφωνα με την κλίμακα.

Το εμβαδόν της περιοχής είναι:

Εφαρμογή 2η ✏️

Στον αρχαιολογικό χώρο της Βεργίνας βρέθηκε το αρχαίο θέατρο όπου ο βασιλιάς της Μακεδονίας Φίλιππος ο Β’ δολοφονήθηκε το 336 π.Χ. Το θέατρο διέθετε ημικυκλική ορχήστρα διαμέτρου 28 μέτρων. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της.

Λύση:

Για να βρούμε το εμβαδόν ενός ημικυκλίου, αρκεί να βρούμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου με την ίδια ακτίνα και να το διαιρέσουμε δια 2. Αφού η διάμετρος είναι 28 μ., η ακτίνα είναι 28 : 2 = 14 μ.

Άρα το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου θα είναι:

Και το ημικύκλιο:

Απάντηση:

Το εμβαδόν της ορχήστρας του αρχαίου θεάτρου είναι 307,72 τ.μ.

Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 🧠

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους εμβαδόν κυκλικού δίσκου και π. Εξήγησε γιατί γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του.

Σημείωσε αν είναι σωστές ή λάθος και συζήτησε τις παρακάτω εκφράσεις:

• Όταν γνωρίζω το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου, μπορώ να βρω την ακτίνα του. ✅ Σωστό
• Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου με ακτίνα 3μ. είναι 3,14 × 3^2 = 3,14 × 6 = 18,84 τ.μ. ❌ Λάθος