Με αναγωγή στη μονάδα
Η διαδικασία με την οποία σε ένα πρόβλημα βρίσκω πρώτα την τιμή της μιας μονάδας (με διαίρεση) και στη συνέχεια βρίσκω την άγνωστη τιμή (με πολλαπλασιασμό) λέγεται αναγωγή στη μονάδα.
Παράδειγμα
Τα 5 μέτρα ύφασμα κοστίζουν 30 €. Πόσο κοστίζουν τα 12 μέτρα ύφασμα;
Λύση 📘
- Τα 5 μέτρα κοστίζουν 30 €
- Το 1 μέτρο κοστίζει €
- Τα 12 μέτρα κοστίζουν €
Σχηματίζοντας την αναλογία
Εργάζομαι ως εξής:
- Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιμών.
- Εξετάζω αν τα ποσά είναι ανάλογα.
- Χρησιμοποιώ μεταβλητή για την άγνωστη τιμή.
- Σχηματίζω την αναλογία.
- Βρίσκω τον άγνωστο όρο της αναλογίας λύνοντας την εξίσωση.
Παράδειγμα
Τα 5 μέτρα ύφασμα κοστίζουν 30 €. Πόσο κοστίζουν τα 12 μέτρα;
Λύση 📘
| ΠΟΣΑ | ΤΙΜΕΣ | |
|---|---|---|
| Μήκος υφάσματος σε μέτρα | 5 | 12 |
| Αξία σε € | 30 | x |
Τα ποσά μήκος υφάσματος και αξία είναι ανάλογα ποσά (το διπλάσιο μήκος έχει διπλάσια αξία). Στα ανάλογα ποσά οι λόγοι των τιμών τους είναι ίσοι.
Σχηματίζω την αναλογία και βρίσκω τον άγνωστο όρο:
Άρα:
Τα 12 μέτρα κοστίζουν 72 €.
Δραστηριότητα 1η 🏀
Η σχολική ομάδα μπάσκετ θέλει να προμηθευτεί αθλητικά μπλουζάκια. Βρήκαν ότι σε προσφορά τα 2 μπλουζάκια κοστίζουν 12 €. Πόσο θα κοστίσουν τα μπλουζάκια για όλη την ομάδα που αποτελείται από 8 παίκτες;
Λύση 📘
- Αφού μας δίνει πόσο κοστίζουν τα 2 μπλουζάκια, μπορούμε να βρούμε πόσο κοστίζει το ένα και στη συνέχεια πόσο κοστίζουν τα 8.
- Μπορούμε να βρούμε πόσο κοστίζει το 1 μπλουζάκι.
Όταν ξέρω πόσο κάνει το 1, ζητώ τα πολλά και κάνω πολλαπλασιασμό. Άρα, θα πολλαπλασιάσουμε το 8 με την τιμή του ενός.
Τα 2 κοστίζουν 12 €, άρα το 1 κοστίζει €.
Επομένως, € κοστίζουν τα 8 μπλουζάκια.
Δραστηριότητα 2η 📊
Στο ίδιο πρόβλημα μπορούμε να εργαστούμε και με άλλο τρόπο:
- Φτιάχνουμε έναν πίνακα για να καταγράψουμε τα δεδομένα του προβλήματος.
- Συμπληρώνουμε εσύ τα ποσά και τις αντίστοιχες τιμές που μας δίνει το πρόβλημα.
- Την άγνωστη τιμή μπορείς να την ονομάσεις x.
| ΠΟΣΑ | ΤΙΜΕΣ | |
|---|---|---|
| Μπλουζάκια | 2 | 8 |
| Κόστος (€) | 12 | x |
Λύση 📘
Αν το 1 μπλουζάκι κοστίζει 6 €, τα 2 μπλουζάκια κοστίζουν 12 €, τα 3 μπλουζάκια 18 € κ.ο.κ. Επομένως, τα ποσά μπλουζάκια και κόστος είναι ανάλογα.
Δηλαδή:
Με τη μέθοδο «χιαστί»:
Εφαρμογή 🍇
Ένας αμπελουργός έκανε 600 κιλά κρασί από 1.800 κιλά σταφύλια. Την επόμενη χρονιά έκανε 800 κιλά κρασί. Πόσα κιλά σταφύλια είχε τη δεύτερη χρονιά;
Λύση 📘
α) Με αναγωγή στη μονάδα:
Τα 600 κιλά κρασί γίνονται από 1.800 κιλά σταφύλια. Το 1 κιλό κρασί γίνεται από κιλά σταφύλια. Τα 800 κιλά κρασί γίνονται από κιλά σταφύλια.
β) Με αναλογία:
| ΠΟΣΑ | ΤΙΜΕΣ | |
|---|---|---|
| Βάρος κρασιού σε κιλά | 600 | 800 |
| Βάρος σταφυλιών σε κιλά | 1.800 | x |
Σχηματίζω την αναλογία και εφαρμόζω:
Απάντηση: Τη δεύτερη χρονιά είχε 2.400 κιλά σταφύλια.
Ερωτήσεις για Αυτοέλεγχο και Συζήτηση 🤔
Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τον όρο αναγωγή στη μονάδα. Μπορείς να τον εξηγήσεις με δικά σου παραδείγματα;
Σημείωσε αν είναι σωστές ή λάθος και συζήτησε τις παρακάτω εκφράσεις:
- Αναγωγή στη μονάδα σημαίνει «βρίσκω την τιμή των πολλών».
- Στην αναλογία τα σταυρωτά γινόμενα είναι ίσα.
- Τα ανάλογα ποσά δεν έχουν πάντα ίσους λόγους.
Λύση 📘
- Λάθος: Αναγωγή στη μονάδα σημαίνει «βρίσκω την τιμή του ενός».
- Σωστό: Στην αναλογία τα σταυρωτά γινόμενα είναι ίσα.
- Λάθος: Τα ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους.